根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)問題例析

■劉登麗

函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的重要性質(zhì),是高考的常考點(diǎn)。解答這類問題,需要借助函數(shù)的圖像、性質(zhì)等知識。

一、無零點(diǎn)問題

例1若函數(shù)f(x)=mx-m+1 在區(qū)間[0,1]上無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )。

A.01

C.m<0 D.m<1

解:當(dāng)m=0 時(shí),可得f(x)=1,此時(shí)函數(shù)f(x)無零點(diǎn),符合題意。

當(dāng)m≠0時(shí),令f(x)=0,則由,解得0

綜上可知,函數(shù)f(x)=mx-m+1在區(qū)間[0,1]上無零點(diǎn),則m<1。應(yīng)選D。

評注:解題時(shí),不能忽視m=0的情況。

二、存在零點(diǎn)問題

例2若函數(shù)f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+∞)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____。

解:由題意知函數(shù)y=e-x與g(x)=ln(x+a)的圖像在(0,+∞)上有交點(diǎn),畫出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖像,如圖1所示。

圖1

由圖可知,當(dāng)a>0 時(shí),g(x)=ln(x+a)的圖像是由函數(shù)y=lnx的圖像向左平移a個(gè)單位長度得到的,根據(jù)圖像可知此時(shí)只需要g(0)=lna<1,即0

綜上可得,a

評注:對于函數(shù)f(x),當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x+a)的圖像是由f(x)的圖像向左平移a個(gè)單位長度得到的;當(dāng)a<0 時(shí),函數(shù)f(x+a)的圖像是由f(x)的圖像向右平移-a個(gè)單位長度得到的。

三、一個(gè)零點(diǎn)問題

例3(1)若2 是函數(shù)f(x)=a·2xlog2x的零點(diǎn),則a=____。

(2)函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為____。

解:(1)由題意得f(2)=4a-1=0,所以

(2)當(dāng)a=0 時(shí),f(x)=-x-1,令f(x)=0,可得x=-1,所以f(x)有一個(gè)零點(diǎn)為-1。當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=1+4a=0,可得

故滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為0或

評注:對于一元二次方程,當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相等實(shí)根;當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等實(shí)根;當(dāng)Δ<0時(shí),方程無實(shí)根。

四、兩個(gè)零點(diǎn)問題

評注:分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是各段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)之和。

五、三個(gè)零點(diǎn)問題

例 5 已 知 函 數(shù)f(x) =若函數(shù)g(x)=f[f(x)]-a有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

解:設(shè)t=f(x)。令f[f(x)]-a=0,則a=f(t)。

在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出y=a,y=f(t)的大致圖像,如圖2所示。

圖2

由圖可得,當(dāng)a≥-1 時(shí),y=a與y=f(t)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1,t2(不妨設(shè)t2>t1),則t1< -1,t2≥-1。當(dāng)t1<-1時(shí),t1=f(x)有一個(gè)解;當(dāng)t2≥-1 時(shí),t2=f(x)有兩個(gè)解。

當(dāng)a<-1時(shí),y=a與y=f(t)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意。

故當(dāng)a≥-1,即a∈[-1,+∞)時(shí),函數(shù)g(x)=f[f(x)]-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)。

評注:復(fù)合函數(shù)問題中,內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域。

提 示: 作 出 函 數(shù)f(x) =的圖像,如圖3 所示。由g(x)=f(x)+2x+a,令g(x)=0,可得f(x)=-2x-a,作出直線y=-2x-a的圖像(如圖3)。

圖3

由題意可得方程f(x)=-2x-a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-2x-a有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(0,1)時(shí),可得-a=1,即a=-1;當(dāng)直線y=-2x-a與y=(x+1)2(x≤0)的圖像相切時(shí),可得x2+4x+1+a=0,由Δ=16-4(a+1)=0,可得a=3。由數(shù)形結(jié)合知,當(dāng)a<-1 或a=3 時(shí),直線y=-2x-a和f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。故所求a的取值范圍為{a|a<-1或a=3}。