類型全歸納，問題妙突破
———函數零點的存在定理的應用

■聶 然

如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是一條連續不斷的曲線,并且f(a)·f(b)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。利用函數零點存在定理,可以解決一些涉及函數與方程方面的綜合應用問題。

一、零點區間的判斷

例1函數f(x)=lnx+ex的零點所在的區間是( )。

C.(1,e) D.(e,+∞)

分析:根據題設條件,通過對應函數在各區間的端點處的取值的正負情況,結合函數零點的存在定理,即可確定零點所在的區間。對于一些特殊點,可以采用極限思維來綜合分析與處理。

解:因為f(1)=e>0,,f(e)=1+ee>0,而當x→0時,f(x)=lnx+ex<0,所以根據函數零點的存在定理可知,該函數的零點所在的區間是。應選A。

本題主要考查函數零點的存在定理及其應用。解答這類問題的基本方法是:結合函數f(x)在各點處的函數值的正負情況,利用函數零點的存在定理f(a)·f(b)<0 來判斷零點所在的區間(a,b)。

二、零點個數的確定

例2函數f(x)=ex+3x的零點個數是( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:因為函數y1=ex與y2=3x都是R 上的單調遞增函數,所以函數f(x)=ex+3x的圖像是一條連續不斷的曲線。在此基礎上,結合函數零點的存在定理即可確定零點的個數。

解:已知函數y1=ex與y2=3x都是R上的增函數,所以函數f(x)=ex+3x在R上單調遞增。

因為f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,所以f(-1)·f(1)<0,所以函數f(x)=ex+3x在區間(-1,1)內存在零點,因此f(x)的零點個數是1。應選B。

本題主要考查函數零點的存在定理及其應用。解答這類問題的基本方法是:先確定函數f(x)的圖像特征(若圖像是一條連續不斷的曲線,則具有單調性),再利用函數零點的存在定理f(a)·f(b)<0來確定零點的個數。

三、參數范圍的確定

例3若函數f(x)=2ax2-x-1 在(0,1)內恰有一個零點,則a的取值范圍是( )。

A.(-1,1) B.[1,+∞)

C.(1,+∞) D.(2,+∞)

分析:通過參數a的取值情況的分類討論,結合函數在區間(0,1)內恰有一個零點的條件,合理建立相應的不等式組求解。

解:當a=0 時,由f(x)=-x-1=0,解得x=-1,此時函數的零點是x=-1,不在區間(0,1)內。1)內。

綜上可知,a>1。應選C。

本題主要考查函數零點的存在定理及其應用。解答這類問題的基本方法是:根據參數的情況進行分類討論,再結合函數零點的存在定理f(a)·f(b)<0,以及對應函數建立相應的不等式(組),最后求出參數的取值范圍。

四、函數值大小的判斷

例4已知x0是函數的一 個 零 點,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),則( )。

A.f(x1)<0,f(x2)<0

B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0

D.f(x1)>0,f(x2)>0

分析:根據題設條件,先確定函數g(x)與函數h(x)=2x在區間(1,+∞)上的單調性,即得零點的唯一性,再結合函數零點的存在定理與函數的單調性即可判斷函數值的大小關系。

本題主要考查函數零點的存在定理及其應用。解答這類問題的基本方法是:先確定函數f(x)的單調性(若圖像是一條連續不斷的曲線,則具有單調性),再利用函數零點的存在定理確定零點的唯一性,最后判斷函數值的大小關系。

五、綜合應用問題

例5若函數f(x)的零點與函數g(x)=4x+2x-2 的零點之差的絕對值不超過0.25,則f(x)可以是( )。

A.f(x)=4x-1

B.f(x)=log3(2-x)

C.f(x)=3x-1

D.f(x)=2x-3

分析:先確定各選項中函數f(x)的零點,結合各零點的取值情況,通過函數g(x)的正負取值來確定零點所在的區間,再借助二分法進一步縮小區間,最后得到適合題意的函數f(x)。

解:對于A,函數f(x)=4x-1 的零點為對于B,函數f(x)=log3(2-x)的零點為x=1。對于C,函數f(x)=3x-1的零點為x=0。對于D,函數f(x)=2x-3的零點為

因為函數f(x),g(x)的零點之差的絕對值不超過0.25,所以f(x)=4x-1的零點符合條件。應選A。

解答本題的關鍵是利用函數零點的存在定理來確定函數零點所在的區間。

編者的話:函數零點的存在定理是函數與方程中的重要內容,它涉及函數思想、方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想,以及二分法思想等。因此,函數零點的存在定理的應用成為高考的?？键c,同學們一定要高度重視。