例說指數函數單調性的應用

■向正銀

指數函數y=ax(a>0,且a≠1)是高中數學重點研究的基本初等函數之一,也是高考重點考查的知識點。指數函數的單調性應用很廣泛,下面就四個方面的應用進行舉例分析。

一、利用指數函數的單調性比較大小

評注:把y1,y2,y3化成同底數冪的形式,再根據指數函數y=2x的單調性比較大小。

二、利用指數函數的單調性解不等式

例2已知函數f(x)是定義在R 上的奇函數,當x>0時,f(x)=1-2-x,則不等式的解集是( )。

A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

評注:奇函數在對稱的區間上具有相同的單調性。

三、利用指數函數的單調性求參數的值

例3函數y=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為3,則a等于( )。

當a>1 時,y=ax為 單 調遞增函數,所以y=ax在[0,1]上的最值分別為ymax=a1=a,ymin=a0=1,所以a+1=3,即a=2。

當0

評注:函數y=ax(a>0,且a≠1)的單調性與a的取值范圍有關,需要對a分情況討論。

四、利用指數函數的單調性求參數的范圍

例4若函數f(x)=2x-4x-m在區間[-1,1]上存在零點,則實數m的取值范圍為_____。

因為f(x)=2x-4x-m在區間[-1,1]上存在零點,所以g(x)=2x-4x與y=m在[-1,1]上有交點,即方程m=2x-4x有解。因為函數y=2x在[-1,1]上單調遞增,所以

評注:根據函數的零點定義,問題轉化為函數g(x)=2x-4x與y=m的圖像在[-1,1]上有交點,求出g(x)的值域,即h(u)的值域,可得實數m的取值范圍。