立體幾何中空間向量運算的易錯題分析

■江蘇省南京市板橋中學 紀明亮

立體幾何是高中數學中的重要知識點,將立體幾何與代數融合引進了空間向量。空間向量強調幾何直觀和代數運算,能培養同學們的直觀想象和數學運算等核心素養。空間向量是處理立體幾何問題的重要工具,但運用空間向量解題時還存在誤區。下面筆者分析幾類空間向量運算中的易錯題,相信這對同學們更具有實戰價值,具體過程如下。

易錯點一、坐標系建立錯誤

例1(寧波市2023年高三模擬試題)如圖1,在四棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,PA=AC=2AB=2,,求銳二面角P-BC-A的余弦值。

圖1

錯因分析：建立空間直角坐標系需找到過同一點的三條直線,且兩兩垂直。該情況等價與兩條相交直線互相垂直,第三條直線過垂足且與這兩條直線所在平面垂直。上述解法由平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,不能直接得到PA⊥AB,PA⊥AC。

易錯點二、錯把向量坐標當作點坐標

例2(揚州市2023 屆高三考前調研測試題)如圖3所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1的體積為6,截面ACC1A1的面積為6。若AB=AD=2,,AA1,點B到平面ACC1A1的距離為1,求直線BD1與平面CC1D1D所成角的正弦值。

圖3

錯因分析：上述解法在由的坐標當作點D1的坐標,導致錯誤。在求某向量的坐標時,若該向量一端點的坐標不易求出,則可借助相等向量,這是一種間接求向量坐標的重要方法。

正解：前面同錯解。

易錯點三、錯把線段比值當作線段長度

正解：前面同錯解。

易錯點四、求點面距離時夾角判斷錯誤

例4如圖7,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD與四邊形ABEF均為直角梯形,平 面ABCD⊥ 平 面ABEF,AD∥BC,AF∥BE,AB⊥AD,AB⊥AF,AB=AD=2BC=2BE=2,且AF＞1。若點F到平面CDE的距離為,求平面CDE與平面BDF所成銳二面角的余弦值。

圖7

錯解：因為平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AD?平面ABCD,AD⊥AB,所以AD⊥平面ABEF。

錯因分析：根據法向量求點到直線的距離時,錯把向量模乘以該向量與法向量夾角的正弦。若平面α的法向量為n,O∈α,A?α,則點A到平面α的距離為。

正解：前面同錯解。

直觀想象和數學運算是同學們必備的數學素養,立體幾何空間向量很好地將二者結合,使之成為一個有機的整體,因此,空間向量運算是同學們必須要掌握的。分析錯誤有助于厘清運算思路,悟透運算道理,理解知識內涵。以上是筆者對立體幾何中空間向量運算的易錯題所做的分析,希望對同學們的復習備考能有所幫助。