把握高考最新動向，高效突破解析幾何

■四川省綿陽實驗高級中學 余 強

解析幾何部分一直是高考命題的重點和熱點,2023年高考依然凸顯了利用代數方法研究幾何性質和利用幾何性質簡化運算的本質,體現在突出主干知識,重視解析幾何的本質、基本思想與方法,考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養。下面以具有代表性、方向性的試題為載體,對解析幾何中的熱點題型進行歸類剖析,希望對大家的學習有所幫助。

一、填空題與選擇題的考查方式繼續保持穩定

1.直線與圓主要以選填題的形式出現,主要考查直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系,注重考查基礎知識的應用

例1(2023年陜西西安高三模擬)已知A,B是圓M:(x-2)2+y2=1 上不同的兩個動點,O為坐標原點,則的取值范圍是( )。

故選C。

評注:在處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法,即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形。同時,若已知圓M及圓外一定點O,設圓M的半徑為r,則圓上點N到原點O距離的最小值為|ON|=|OM|-r,最大值為|ON|=|OM|+r。

2.圓錐曲線的選填題依然考查根據條件求圓錐曲線的方程,以及根據圓錐曲線的方程研究離心率、夾角、弦長等基本性質

例2(2023年福建漳州高三質檢)已知橢圓的左焦點和右焦點分別為F1,F2,以F2為圓心的圓與x軸交于F1,B兩點,與y軸的正半軸交于點A,線段AF1與橢圓C交于點M。若|BM|與橢圓C的焦距的比值為,則橢圓C的離心率為( )。

故選D。

評注:圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算是高考的熱點問題,求橢圓或雙曲線的離心率或離心率的范圍,可以利用橢圓或雙曲線中a,b,c某個量的取值范圍確定e;或者構造a,b,c的齊次不等式確定e。也可利用圖形中的位置關系(如三角形中的邊角關系,曲線上的點到焦點距離的范圍等)建立不等式(不等式組)來確定e。

二、圓錐曲線解答題注重運算和思維的綜合考查

高考中的解析幾何解答題依舊是聚焦幾種常見題型,即求軌跡方程、弦長或面積問題,最值與范圍問題,以及有關定點定值的探究性問題等。

1.求軌跡方程、弦長或面積問題

例3(2023年貴州高三聯考)已知直線l1⊥x軸,垂足為x軸負半軸上的E,E關于原點O的對稱點為F,且|EF|=4,直線l1⊥l2,垂足為A,線段AF的垂直平分線與直線l2交于點B,記點B的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程;

(2)已知點P(2,4),不過點P的直線l與曲線C交于M,N兩點,以線段MN為直徑的圓恒過點P,P關于x軸的對稱點為Q,若△QMN的面積是,求直線l的斜率。

解析：(1)由線段AF的垂直平分線與直線l2交于點B,可得|AB|=|BF|,即點B到點F的距離等于點B到直線l1的距離。由|EF|=4,可知直線l1的方程為x=-2,所以F(2,0),所以點B的軌跡C是以F為焦點,直線l:x=-2 為準線的拋物線,所以點B的軌跡C的方程為y2=8x。

(2)根據題意知直線l的斜率不為0,設直線l:x=my+n,且M(x1,y1),N(x2,y2),聯立方程組消去x整理得y2-8my-8n=0,所以Δ=64m2+32n＞0,y1+y2=8m,y1y2=-8n。

將y1+y2=8m,y1y2=-8n代入化簡得(n-6)2=16(m+1)2,所以n-6=±4(m+1),所以n=4m+10或n=-4m+2。

因為直線l不經過點P,所以n≠-4m+2,所以n=4m+10,此時滿足Δ＞0。

所以直線l的斜率為1或。

評注:涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題,可以優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離,這樣就可以使問題簡單化。涉及直線與拋物線的綜合問題,通常設出直線方程,與拋物線方程聯立,結合根與系數的關系,合理進行轉化運算求解即可。

2.最值與范圍問題

例4(2023年河南高三聯考)設雙曲線的左焦點和右焦點分別為,且E的漸近線方程為。

(1)求雙曲線E的方程;

(2)過F2作兩條相互垂直的直線l1和l2,與雙曲線E的右支分別交于A,C兩點和B,D兩點,求四邊形ABCD面積的最小值。

評注:解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略:(1)幾何轉化代數法:若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義,則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決;(2)函數取值法:若題目的條件和結論的幾何特征不明顯,則可以建立目標函數,再求這個函數的最值(或值域),常用方法有配方法、基本不等式法和單調性法,解題時要特別注意自變量的取值范圍。

3.定點定值問題

例5(2023年河南開封高三模擬)已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數,橢圓E的短軸長為2,左頂點和右頂點分別是A,B。

(1)求橢圓E的方程;

(2)已知O是坐標原點,直線l經過點P(-2,2),并且與橢圓E交于點M,N,直線BM與直線OP交于點T,設直線AT,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值。

(2)由(1)可得A(-2,0),B(2,0),顯然直線MN的斜率存在且不為0。

設直線MN的方程為y=kx+m,由題意得2=-2k+m,所以m=2+2k。

評注:定點定值問題在高考中出現的頻率很高,求解直線或曲線過定點問題的基本思路:(1)把直線或曲線方程中的變量x,y當作常數看待,把方程一端化為零,既然是過定點,那么這個方程就要對任意參數都成立,這時參數的系數就要全部等于零,這樣就得到一個關于x,y的方程組,這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點。(2)由直線方程確定其過定點時,若得到了直線方程的點斜式y-y0=k(x-x0),則直線必過定點(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式y=kx+m,則直線必過定點(0,m)。求解直線與圓錐曲線的定值問題的常見類型及策略:(1)求代數式為定值。依題設條件,得出與代數式參數有關的等式,代入代數式后化簡即可求得定值。(2)求點到直線的距離為定值。利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設條件化簡、變形即可求得定值。(3)求某線段長度為定值。利用長度公式求得解析式,再依據條件對解析式進行化簡、變形即可求得定值。

從以上例題可以看出,解析幾何不僅要求同學們就課本所涉及的內容做好系統復習,打好基礎,還要掌握解析幾何的基本思想和方法,提高運用解析幾何基本思想方法分析問題、解決問題的能力,在注意解題思想的同時,總結一些解題技巧,如“設而不求”“參數法”“定義法”“幾何法”等,常能化難為易,化繁為簡,收到事半功倍的效果。