基本不等式應(yīng)用的常見(jiàn)技巧策略

■徐州中學(xué) 孫 慧

基本不等式及其應(yīng)用是不等式模塊中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),也是高考中直接應(yīng)用或間接應(yīng)用的一個(gè)重要考查點(diǎn)與工具,在眾多的數(shù)學(xué)知識(shí)與相關(guān)內(nèi)容中都有基本不等式的影子。利用基本不等式解決問(wèn)題時(shí),需要注意“一正,二定,三相等”這三個(gè)基本條件,這是應(yīng)用基本不等式的關(guān)鍵所在。本文結(jié)合基本不等式應(yīng)用中的常見(jiàn)技巧策略加以實(shí)例剖析,引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題研究,起到拋磚引玉的作用。

一、常量巧引入,配湊法應(yīng)用

配湊法的目的就是構(gòu)建適合基本不等式應(yīng)用的基本條件——“和為定值”或“積為定值”的形式,借助對(duì)應(yīng)代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,通過(guò)添加項(xiàng)、拆分項(xiàng)等技巧方法,進(jìn)而利用基本不等式來(lái)解決問(wèn)題。常見(jiàn)的配湊法就是對(duì)相應(yīng)的代數(shù)式進(jìn)行配系數(shù)、湊常數(shù)等變形處理。

點(diǎn)評(píng):配湊法的根本目的就是合理創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件,創(chuàng)設(shè)“積為定值”或“和為定值”這一前提條件,這就需要對(duì)題設(shè)條件或所求結(jié)論的關(guān)系式進(jìn)行一些必要的配湊處理,配系數(shù)、湊常數(shù)等技巧方法經(jīng)常是借助因式分解、平方處理、增減常數(shù)等方式來(lái)達(dá)到目的,實(shí)現(xiàn)利用基本不等式來(lái)解決問(wèn)題的目的。

二、乘“1”后變形,代換法應(yīng)用

代換法就是利用常數(shù)的變形,以及代數(shù)式與“1”的積、商都是自身的性質(zhì),通過(guò)代數(shù)式的變形構(gòu)造出滿足“和為定值”或“積為定值”的基本形式,符合基本不等式的應(yīng)用條件。代換法的本質(zhì)就是常數(shù)與參數(shù)之間的靈活變形與轉(zhuǎn)化,常數(shù)化成“1”是代數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)。

例2已知x＞0,y＞0,且滿足x+2y=3xy,則2x+y的最小值為_(kāi)____。

點(diǎn)評(píng):代換法應(yīng)用的根本就是通過(guò)常數(shù)與關(guān)系式之間的等價(jià)關(guān)系加以合理代換處理,具體代換時(shí),可以是乘“1”后變形,也可是乘以其他常數(shù)進(jìn)行處理,特別要注意乘常數(shù)后要加以同除處理,保證代數(shù)關(guān)系式的恒等變形。

三、雙變?cè)走x,消元法應(yīng)用

消元法就是用來(lái)解決一些比較復(fù)雜的多變?cè)拇鷶?shù)式最值問(wèn)題,借助題設(shè)條件,合理減少變量的個(gè)數(shù),經(jīng)常是轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的代數(shù)式,進(jìn)而利用基本不等式來(lái)分析與應(yīng)用。消元法的實(shí)質(zhì)就是減元,將多變?cè)獑?wèn)題轉(zhuǎn)化為單變?cè)獑?wèn)題來(lái)處理。

例3已知x＞0,y＞0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為_(kāi)___。

點(diǎn)評(píng):消元法的根本目的就是減少變量的個(gè)數(shù),方便配湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的基本形式,為基本不等式的應(yīng)用指明方向,從而更加直觀有效地利用基本不等式來(lái)分析與求解最值。

四、多層次推進(jìn),分步法應(yīng)用

分步法就是用來(lái)解決一些比較復(fù)雜的多變?cè)?一般是三變?cè)耙陨?的代數(shù)式最值問(wèn)題,結(jié)合分步法處理,分層次合理加以逐步消元,不斷減少變量的個(gè)數(shù),進(jìn)而吻合基本不等式應(yīng)用的條件,從而得以求解最值。分步法的實(shí)質(zhì)就是逐步消元,注意在多次利用基本不等式時(shí),要保證等號(hào)成立時(shí)條件的一致性。

點(diǎn)評(píng):分步法就是綜合應(yīng)用配湊法、換元法或消元法等,通過(guò)兩次及以上的基本不等式的應(yīng)用來(lái)分析與求解對(duì)應(yīng)復(fù)雜代數(shù)式的最值問(wèn)題。注意在多次利用基本不等式進(jìn)行分步時(shí),要注意每步中取等號(hào)的條件的前后一致性,不能出現(xiàn)前后矛盾,這也是分步法中比較容易出錯(cuò)的地方。

在實(shí)際應(yīng)用基本不等式來(lái)解決問(wèn)題時(shí),抓住基本不等式應(yīng)用的三個(gè)基本條件,或配湊法應(yīng)用,或代換法處理,或消元法解決,或分步法應(yīng)用等,掌握解決問(wèn)題的“通技通法”,舉一反三,融會(huì)貫通,從而進(jìn)一步養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,提升數(shù)學(xué)能力,更好地借助基本不等式來(lái)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。