解析幾何中軌跡問題的破解策略

■江蘇省蘇州外國語學(xué)校 陳建圣

解析幾何中軌跡方程的求解一直是該知識模塊中一個最基本的問題。在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,解析幾何中軌跡問題的求解也呈現(xiàn)出一些新的變化與創(chuàng)新。解析幾何中軌跡方程的求解是新高考中的一個基本考點,結(jié)合軌跡方程的破解策略,從不同方法與技巧入手,通過實例剖析新高考軌跡方程求解的一些創(chuàng)新與變化,引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考。

1.直譯法

直接通過題目條件加以直譯,抓住破解的基本策略,即通過建系、設(shè)點、列式、代換、證明這五個步驟來構(gòu)建關(guān)系與確定軌跡。

例1在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),平面內(nèi)兩點G,M同時滿足以下三個條件:①G是△ABC三條邊中線的交點;②M是△ABC的外心;③GM∥AB。

(1)求△ABC的頂點C的軌跡方程;

(2)若點P(2,0)與(1)中軌跡上的點E,F三點共線,求|PE|·|PF|的取值范圍。

解析：(1)設(shè)C(x,y)(y≠0),G(x0,y0),M(xM,yM)。因為M是△ABC的外心,所以M在線段AB的中垂線上,可得xM=0。因為GM∥AB,所以yM=y0。

(2)因為P,E,F三點共線,所以P,E,F三點所在直線斜率存在且不為0。

點評:此題借助動點C所對應(yīng)的△ABC的相關(guān)幾何特征,從更高的視角、間接條件并融合多個信息加以巧妙設(shè)置,難度中等,但信息量大,對同學(xué)們的基礎(chǔ)知識與基本技能的要求更高,這也是新高考命題關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力方面的創(chuàng)新點之一。

2.定義法

根據(jù)題目條件確定動點的軌跡是某種已知曲線(如圓、橢圓、雙曲線或拋物線),結(jié)合對應(yīng)曲線的定義來探求對應(yīng)動點的軌跡方程。

例2如圖1,在一張紙上有一圓C:,折疊紙片使圓C上某一點M1恰好與點M重合,這樣每次折疊都會留下一條折痕EF,設(shè)折痕EF與直線M1C的交點為T。

(1)求證:||TC|-|TM||為定值,并求出點T的軌跡Г的方程。

(2)已知點A(2,1),直線l交軌跡Г于P,Q兩點,直線AP,AQ的斜率之和為0。若,求△PAQ的面積。

(2)由(1)知點A(2,1)在雙曲線Г的右支上,因為直線AP,AQ的斜率之和為0,不妨設(shè)kAP＞0,則kAQ＜0。

點評:此題巧妙地設(shè)置“||TC|-|TM||為定值”的證明,這也是問題的切入點,合理設(shè)置“臺階”指引同學(xué)們思考并加以探究,并有效結(jié)合圓錐曲線的定義,利用定義法來確定對應(yīng)的軌跡問題,從而有效降低難度,這也是新高考在命制試題時關(guān)注試題的梯度性與可操作性的一個重要體現(xiàn)。

3.代入法(或相關(guān)點法)

利用動點P(x,y)依賴于另一動點Q(a,b)(該動點在某已知曲線上)的變化而變化,進(jìn)而通過構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系,將參數(shù)a、b代入已知曲線的方程而得到所求動點的軌跡方程。

例3已知直線x-2y+1=0 與圓C:x2+y2-4x+2y-a=0交于A,B兩點,CA⊥CB。

(1)求實數(shù)a的值;

(2)若點P在圓C上運動,O為坐標(biāo)原點,動點M滿足,求動點M的軌跡方程。

點評:此題借助平面向量這一基本數(shù)學(xué)工具,構(gòu)建動點與相關(guān)點之間的坐標(biāo)關(guān)系,為軌跡的確定與方程的求解構(gòu)建聯(lián)系。此類問題經(jīng)常通過線段長度的比較關(guān)系來設(shè)置,利用向量知識的引入或向量法的應(yīng)用,這是命題人關(guān)注試題的交匯性與應(yīng)用性的一種手段。

4.交軌法

當(dāng)問題涉及兩動曲線的交點的軌跡問題時,往往通過解方程組的方法確定交點(含參數(shù))的坐標(biāo),借助消參數(shù)求得對應(yīng)的軌跡方程。交軌法往往與參數(shù)法綜合起來應(yīng)用。

例4已知拋物線C:x2=4y,過其焦點F的直線與C相交于A,B兩點,分別以A,B為切點作C的切線,相交于點P。

(1)求點P的軌跡方程;

(2)若PA,PB與x軸分別交于Q,R兩點,令△PAB的面積為S1,四邊形PRFQ的面積為S2,的最小值。

解析：(1)拋物線C:x2=4y的焦點為F(0,1),設(shè)。

設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,與拋物線的方程聯(lián)立,消去參數(shù)y并整理可得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4。

點評:此題其實是拋物線方程的一個“二級結(jié)論”:過拋物線的焦點弦的兩端點的切線方程的交點在拋物線的準(zhǔn)線上,是一個定值問題。涉及圓錐曲線的一些定值(定點、定直線、定曲線等)問題,這也是新高考在命制試題時創(chuàng)新設(shè)置的基本類型之一,以“二級結(jié)論”的形式來考查基礎(chǔ)知識與基本能力等。

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進(jìn)一步落實“雙減”政策與新課改理念,積極貫徹《總體方案》要求,解析幾何中軌跡問題的求解成為該知識模塊中落實“四基”的常見方式,探究基礎(chǔ),挖掘本質(zhì),嘗試創(chuàng)新,著力能力,進(jìn)而堅持開放創(chuàng)新與核心素養(yǎng)導(dǎo)向,更加注重數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用。