立足解析幾何本質,拾級而上提升素養
——2023年高考數學全國乙卷解析幾何試題的評析和建議

■江西師范大學附屬中學 陳選明

2023年高考數學全國乙卷對解析幾何部分主要考查了直線、圓和三類圓錐曲線內容,實現了對基礎知識的全方位覆蓋。試題雖然看似平和,卻極具思維含量,真正體現了求解入口寬,思路多樣,突出通性通法等特點,真實反映考生的基礎理解水平,在“反刷題”“反套路”上下功夫,抑制“秒殺”,不提倡一知半解所謂的“高觀點”。突出強調對基本概念和基本方法的深入理解和靈活掌握,注重考查學科知識的綜合應用能力。問題設置了合理的思維強度,在解決問題時設置合適的運算過程和運算量,下面從試題的考查形式進行評析。

一、直線與圓：回歸圓心,注重考查圓的幾何性質

高考試題一般不會單獨考查圓,往往都是結合直線、橢圓等,這類試題的難度為中低檔。對于涉及圓的問題,只要從圓心出發思考問題,回歸圓心基本上都是可行的,也是最好的視角,正所謂“圓不離心”。

例1(2023 年全國乙卷理科第12題)已知☉O的半徑為1,直線PA與☉O相切于點A,直線PB與☉O交于B,C兩點,D為BC的中點,若的最大值為( )。

解析：由題意知,|OA|=1,,所以∠APO=45°。

故選A。

點評:本題將直線與圓的位置關系和平面向量有機地進行結合,同學們可以從向量數量積的概念、幾何意義、坐標表示等多種角度進行思考,命題人對這三種角度的難度做了比較有梯度的設置,用基本概念法需要同學們對三角函數的知識運用熟練;用幾何意義法需要同學們有一定的平面幾何推理能力;用坐標表示法需要同學們有較高的數學運算與邏輯推理能力。該題全面考查了向量的基本概念、向量的數量積運算、三角的恒等變形及最值、圓的幾何性質等,深入考查了化歸與轉化思想,以及同學們思維的靈活性與創新性。

二、圓錐曲線客觀題：回歸概念與性質,注重考查平面圖形的幾何特征

概念反映了數學對象的本質特征,如橢圓、雙曲線和拋物線的概念刻畫了相應幾何對象必須滿足最典型的數量關系。首先,理解概念就是理解一個數學問題的基礎,如果不理解概念,解題就無從談起。其次,解析幾何的對象是形,雖然解析幾何是用代數方法研究“形”的性質,但是其本身“形”的特征還是要充分尊重的,特別是客觀題“重概念考性質”的特點更加決定了該類題的求解還是要從概念和性質出發,盡量減少運算。

例2(2023 年全國乙卷理科第11題)設A,B為雙曲線上兩點,則下列四個點中,可以作為線段AB的中點的是( )。

A.(1,1) B.(-1,2)

C.(1,3) D.(-1,-4)

對于選項A:可得kOM=1,kAB=9,則AB:y=9x-8,聯立消去y整理得72x2-2×72x+73=0,此時Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288＜0,所以直線AB與雙曲線沒有交點,所以A 錯誤;

對于選項C:可得kOM=3,kAB=3,則直線AB:y=3x,由雙曲線方程可得a=1,b=3,則直線AB:y=3x為雙曲線的漸近線,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故C錯誤;

故選D。

點評:本題涉及中點弦問題,解答思路為先求出以選項中的點為中點的直線AB的方程,再檢驗所求直線的方程與雙曲線是否相交,若相交,則符合條件。解答本題需要逆向思維,對同學們有一定的挑戰性,需熟練掌握“點差法”、數形結合法,以及常用結論kAB·kOM=e2-1,在小題中利用一些常用結論,結合選擇支驗證可避免小題大做。

三、解析幾何解答題：優化解題路徑,減少解析幾何題的運算量

解決解析幾何大題最頭疼的無疑就是運算。解析幾何就是用代數的方法研究幾何問題,在這個過程中要經歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉換,大多數同學會遇到“不知如何下手”“運算煩瑣,算不下去”等問題,他們往往對圖形的整體認識不夠全面,對圖形與圖形、圖形與數量的關系把握不到位,找不到解題方法。

解析幾何的研究方法主要是代數方法,“算”是必須的,解答題的目標定位之一就是考查運算能力。優化運算需要從問題轉化與運算途徑兩個方面進行,將幾何問題翻譯為代數問題,充分利用幾何性質,從而減少運算。代數方法具體體現為運用方程的觀點與方法處理問題,運算對象大多是建立在方程的基礎上,因此“方程”是求解解析幾何問題的一個“數學原點”,深入理解方程及其相關算理,是破除解析幾何中運算障礙的一條可行且有效的途徑。同學們在解題過程中大多習慣于聯立方程,然后利用判別式、韋達定理,最后整體代入,但是一旦關系式過于復雜就可能半途而廢。因此,同學們不僅要能熟練運用韋達定理,更要在細節上下功夫,從而優化運算,收到“化平庸為神奇”的效果。

例3(2023 年全國乙卷理科第20題)已知橢圓的離心率是,點A-2,0（ ）在橢圓C上。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點。

所以線段MN的中點為定點(0,3)。

點評:本題考查的是調和線束的一個性質,即平行線被調和線束平分。當然同學們在考場中也可以用極限的觀點先猜測出定點,再證明即可! 這道解析幾何很常規,雖然說是極點極線背景下的問題,卻沒有落入套路,需要老老實實運算,考查了解析幾何的基本思想和基本方法,對同學們的運算能力要求很高。定點問題作為高考的熱點,有很多好的方法和性質值得探究。

通過對以上考題的分析我們可以看到,對于解析幾何部分的復習,我們必須回歸教材,充分認識解析幾何學習的本質,重視對基本概念和幾何性質的學習,深化對基本知識與思想方法的理解。回歸試題的原點,充分尊重問題的“個性特征”,進一步展示具體問題具體分析,體現靈活性。回歸同學們學習的原點,掌握問題的通性通法是根本出發點,可以更好地促進同學們的思維提升,全面提升同學們的核心素養。