剖析不等式解法及應用的易錯點

■重慶市第一中學校 王 軍

不等式是高中數學代數板塊的重要組成部分,與方程,函數等知識聯系密切,在高考中也有著舉足輕重的地位。本文將從不等式的解法與不等式的應用的易錯點進行分析,以期提升同學們的復習效率,規避易錯,提高解題速度和正確率。

一、不等式的解法

不等式的解法的易錯點主要有:①系數需化為正數;②重根的處理需采用“奇次穿偶次不穿”的方式。

錯因分析：錯解1,當x＜0時,左右同乘x不等號方向會改變;錯解2,在將除法改造為乘法時,沒注意到不等式右邊是2 而不是0,當右邊為0 時才能如此操作;錯解1,2,3均沒有考慮分母不為0,且答案沒有寫成集合的形式。

正解:且x≠0?(-x-2)x≥0且x≠0?(x+2)x≤0且x≠0,所以-2≤x＜0,故所求不等式的解集為{x|-2≤x＜0}。

二、不等式的應用

1.隱藏條件挖掘不足致錯

例2若集合A={x|2|x|≥3},B={x|log2(2-x)＜0},則A∩B=( )。

錯解：解得,對于集合B,由log2(2-x)＜0=log21,可得2-x＜1,即x＞1,所以B=(1,+∞),所以。故選B。

錯因分析：忽視了對數函數的定義域,要時刻關注,率先保障每個結構都有意義。

正解：對于集合B,真數為正,即2-x＞0,所以x＜2,由log2(2-x)＜0=log21,可得2-x＜1,即x＞1,所以B={x|1＜x＜2},所以。故選C。

例3若方程有兩個不等的實根,則實數b的取值范圍為( )。

錯解：由得(x-2)2+(y-3)2=4,所以直線y=x+b與圓(x-2)2+(y-3)2=4有2個公共點,即直線與圓相交,則圓心(2,3)到直線y=x+b的距離,解得,。故選A。

錯因分析：“由得(x-2)2+(y-3)2=4”這一步并非恒等變形,y的范圍發生了改變,需注意這個隱藏條件。

正解：由得(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),所以直線y=x+b與半圓(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3)有2個公共點,作出直線與半圓的圖形,如圖1 所示。當直線y=x+b經過點(4,3)時,b=3-4=-1;當直線y=x+b與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切時,有,解得。由圖可知,當直線y=x+b與曲線y=3-有2 個公共點時,-1。故選B。

圖1

2.取等條件未驗證致錯

例4設x,y為實數,若4x2+y2+xy=1,則的最大值為____。

錯解：令2x+y=t,則4x2+y2+xy=(2x+y)2-3xy=t2-3xy=1,所以6+6xy=2(3xy+1)+4=2t2+4,所以,當且僅當t=時取等號。

錯因分析：約束條件4x2+y2+xy=1對變量t的范圍有所限制,這是一個隱藏極深的條件,在換元時一定要思考新變元的范圍是否刻畫完整,最后要檢驗基本不等式的等號能否取到。

3.分類討論考慮不全致錯

例5解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1＜0。

錯因分析：該解法討論不夠充分,首先,二次項系數含參,應討論a是否為0;其次,討論開口方向,再討論根的大小,上面遺漏了的情況。

正解：分以下幾類情況討論:

(1)當a=0時,由ax2-(a+1)x+1＜0?-x+1＜0?x＞1,即解集為(1,+∞)。

含參不等式分類討論在高考中常出現在導數壓軸題的第一問中,通常按如下程序推進:討論二次項系數是否為0→討論開口方向→討論根的個數(判別式Δ)→討論根的大小,以及根與定義域端點的關系。

注:本文系重慶市教育科學“十四五”規劃2023年度立項課題“高中數學核心素養的行為表現及案例研究”(課題批準號:K23ZG1070110)的階段性研究成果之一。