立體幾何中的運動問題

■江蘇省灌南高級中學 王 宇

立體幾何中的運動問題,以空間幾何體為場景依托,滲透入點、直線、平面、空間角、空間距離等的運動變化情況,“動”與“靜”結合,內涵深遠豐富,融合三維空間的想象能力,交匯邏輯推理能力等,問題綜合性強,靈活度高,創新新穎,可以在很大程度上優化并改善同學們的思維定式,優化數學品質,越來越受到新高考數學命題者的青睞,希望能引起同學們的重視。

一、動點軌跡問題

立體幾何中的動點軌跡問題,立足于立體幾何與解析幾何知識的交匯,依托立體幾何的結構特征,結合動點所滿足的條件在空間中確定其相應的變化與軌跡情況,實現空間圖形與平面圖形之間的合理轉化。

例1如圖1,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點P為正方形A1B1C1D1內的動點,滿足直線BP與下底面ABCD所成角為60°的點P的軌跡長度為____。

圖1

分析：根據題設條件,從幾何視角切入,結合立體幾何中的性質,在合理轉化直線與平面所成角的基礎上,轉化為對應平面角問題,進而在相應平面內確定動點的軌跡問題。解決問題時,聯系平面幾何與立體幾何,結合邏輯推理與空間想象得以確定對應的動點軌跡,成為問題解決中最重要的一個環節,再結合動點軌跡的圖形特征來進一步分析與求解。

解：根據題意,直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面A1B1C1D1所成角,連接B1P,因為BB1⊥ 平面A1B1C1D1,PB1?A1B1C1D1,所以BB1⊥PB1,故∠BPB1為直線BP與上底面A1B1C1D1所成角,則有∠BPB1=60°。而BB1=1,所以,故點P的軌跡是以B1為圓心,為半徑,位于平面A1B1C1D1內的圓的,故所求軌跡長度為l。

點評:在解決涉及此類動點軌跡的綜合應用問題中,確定立體幾何中對應動點的軌跡是破解問題的關鍵。靈活掌握立體幾何的結構特征與基本知識是確定動點軌跡的前提條件,同時還要結合問題場景,滲透空間想象能力與邏輯推理能力等。

二、展開還原問題

立體幾何中的展開還原問題,由立體幾何的直觀圖形入手加以合理展開,結合展開后的平面圖形的結構特征,還原立體幾何中的點、直線、平面、角度及距離等的關系,進行三維與二維空間之間的轉化與聯系。

例2足球起源于中國東周時期的齊國,當時把足球稱為“蹴鞠”。漢代蹴鞠是訓練士兵的手段,制定了較為完備的體制。如專門設置了球場,規定為東西方向的長方形,兩端各設六個對稱的“鞠域”,也稱“鞠室”,各由一人把守。比賽分為兩隊,互有攻守,以踢進對方鞠室的次數決定勝負。1970 年以前的世界杯用球多數由舉辦國自己設計,所以每一次球的外觀都不同,拼塊的數目如同擲骰子一樣沒準。自1970年起,世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球,沿用至今。如圖2,三十二面體足球的面由邊長相等的12塊正五邊形和20塊正六邊形拼接而成,形成一個近似的球體。現用邊長為4.5 cm 的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球,大圓圓周的展開圖可近似看成是由4 個正六邊形、4 個正五邊形及2條正六邊形的邊所構成的圖形的對稱軸截圖形所得的線段AA',如圖3,則該足球的體積約為( )。

圖2

圖3

A.5 794.61 cm3B.2 847.66 cm3

C.1 518.75 cm3D.1 488.85 cm3

分析：根據題設條件,由立體圖形入手,通過展開的平面圖形的形狀與特征,合理確定對應邊與角的大小,利用余弦定理和周長公式等來確定球的半徑,進而利用球的體積公式來分析與求解。

解：如圖4所示,在正五邊形中,內角為108°,邊長為4.5,利用余弦定理可得AC2=4.52+4.52-2×4.5×4.5×cos 108°≈53.02,所以AB2=AC2-BC2≈48,解得。在正六邊形中,內角為120°,邊長為4.5,所以大圓的周長為67.89。設球的半徑為R,則2πR=67.89,解得,所以該球的體積。故選A。

圖4

點評:抓住立體幾何與平面幾何這兩個不同知識點間的聯系,借助空間幾何體的合理展開及平面幾何圖形的確定,結合平面圖形的結構特征,從而合理構建平面幾何中對應的邊長、角度等元素數據,合理還原空間幾何體的結構形狀,構建兩者之間的聯系與對應關系,借助數形結合思想,進行必要的空間想象與邏輯推理等。

三、翻折變化問題

立體幾何中的翻折變化問題,主要是依托平面圖形或空間圖形中的某個面等沿著某一確定的直線(或線段)翻折,形成相應的立體幾何圖形,進而研究立體幾何圖形在翻折過程中對應點、線、面、角等關系的變化規律,進行合理的探究與創新應用。

例3如圖5,已知矩形ABCD的對角線交于點E,AB=x,BC=1,將△ABD沿BD翻折,若在翻折過程中存在某個位置,使得AB⊥CE,則正實數x的取值范圍是_____。

分析：根據題設條件,從整體思維視角切入,利用△ABD在沿著BD翻折的過程中,對應點在底面上的射影軌跡的分析與確定,進而利用立體幾何中的三垂線定理、直角三角形的性質及三角函數關系來構建不等式與關系式,進而得以確定相應變量的取值范圍問題。

解：依題意,在將△ABD沿BD翻折的過程中,記點A在底面BCD上的射影軌跡為AA0,連接BA0,如圖6。根據三垂線定理,若AB⊥CE,則AB在底面BCD上的射影A1B⊥CE(其中點A1在線段AA0上)。記∠EBA1=α,∠BAE=∠ABE=∠EBA0=β,則α≤β。結合A1B⊥CE,可得,則知α+2β,解得0＜x≤3,所以x的取值范圍為。故填。

圖6

點評:利用平面圖形翻折變化的關系與規律,借助整體思維視角切入,從立體幾何中“形”的變化視角,基于射影的基本性質與平面圖形翻折過程中的變化規律,合理空間想象與數形結合,利用直觀形象加以分析與處理。

四、圖形組合問題

立體幾何中的圖形組合問題,結合不同空間圖形的堆積、疊加等運動變化,構建相關立體圖形的組合特征,并明確各相關簡單立體圖形之間的位置關系,構建邊長、角度等元素之間的聯系,為合理的空間想象與邏輯推理奠定基礎。

例4在日常生活中,石子是我們經常見到的材料,我們常常會在建筑工地或者建材市場上看到堆積如山的石子,某種石子的主要成分是碳酸鈣,也叫石灰石。某雕刻師計劃在底面邊長為2 m,高為4 m 的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中,雕出一個四棱錐O-ABCD和球M的組合體,如圖7,其中O為正四棱柱的中心,當球的半徑r最大時,該雕刻師需去除的石料約重____kg。(其中π≈3.14,石料的密度ρ=2.4 g/cm3,質量m=ρV)

圖7

分析：根據題設條件,利用正四棱柱、四棱錐與球之間的組合圖形特征與關系,有效確定各空間幾何圖形中相應的邊長等元素的數值,進而利用空間幾何體的體積公式,并結合石料的質量公式加以數學運算。

解：依題意,正四棱柱的體積V1=22×4=16(m3)。四棱錐O-ABCD的底面為正方形,高h=2,其體積。球M的半徑r最大為1,此時其體積)。故該雕刻師需去除的石料的體積。又ρ=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,則該雕刻師需去除的石料約重。故填21 952。

點評:在處理立體幾何中的圖形組合問題,通過運動變化的情況確定圖形之間的關系,是解決問題的前提,也為進一步深入邏輯推理與數學運算提供條件。有時還要結合實際問題,通過空間想象,對不同的立體幾何的圖形組合加以分類討論。

立體幾何中的運動問題,以創新面孔展示在同學們面前,使得靜態數學動態化,讓平面圖形“立”起來,以立體幾何中的重要知識為骨干,合理滲透其他相關的數學知識,融入對應的數學思想方法和數學能力等。此類問題的創設更加創新新穎,可以合理調動立體幾何問題中“動”與“靜”的聯系與變化,實現平面幾何、立體幾何、函數、方程等不同知識體系間的交匯融合,在此基礎上提升數學解題能力與數學應用能力,從而合理拓展數學基礎知識,發散數學思維,提升數學能力,培養核心素養。