探析立體幾何中的軌跡問題

■四川省綿陽實驗高級中學 羅 娟

在高中數學的學習過程中,要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系,高考大綱也提出了數學整體性和綜合性的要求,于是立體幾何與解析幾何作為幾何的兩個分支,兩者“聯姻”而成的題型逐漸成為高考與各省市模擬中的“熱點”。這類題型立意新,知識交叉滲透,有些同學常感到無從下手,本文將通過所求軌跡的種種類型來介紹如何找到這類問題的突破口,從而順利解決問題。

一、軌跡為點型

例1已知平面α∥平面β,直線l?α,點P∈l,平面α,β間的距離為4,則在平面β內到點P的距離為5且到直線l的距離為9 2的點的軌跡是( )。

A.一個圓 B.兩條平行直線

C.四個點 D.兩個點

解析：如圖1,設點P在平面β內的射影是O,則OP是平面α,β的公垂線,OP=4。在平面β內到點P的距離等于5的點到O的距離等于3,可知所求點的軌跡是平面β內以O為圓心,3為半徑的圓。又在平面β內到直線l的距離等于的點的集合是兩條平行直線m、n,它們到點O的距離為,所以直線m、n與這個圓均相交,共有四個交點,因此所求點的軌跡是四個點。故選C。

圖1

點評:把空間的距離問題轉化為平面問題來解決。

二、軌跡為直線型

例2平面α的斜線AB交α于點B,過定點A的動直線l與AB垂直,且交α于點C,則動點C的軌跡是( )。

A.一條直線 B.一個圓

C.一個橢圓 D.雙曲線的一支

解析：設l與l1是過點A且與AB垂直的任意的兩條直線,則這兩條直線確定了一個平面β,由題意可得AB⊥β,由于過一點有且只有一個平面與已知直線垂直,因此平面β是唯一的,所以動點C都在平面α與β的交線上。故選A。

點評:熟練掌握立體幾何中的公理、定理,對于解決問題有很大的幫助。

三、軌跡為曲線型

1.軌跡為橢圓

例3在三棱柱ABC-A1B1C1中,二面角A-CC1-B的大小為30°,動點M在平面ACC1A1上運動,且M到平面BCC1B1的距離d=MA,則點M的軌跡為( )。

A.直線 B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

解析：如圖2,過點M作MN垂直平面BCC1B1于點N,作MD垂直CC1于點D,連接MD,由三垂線定理得DN⊥CC1,所以∠MDN=30°,則,由圓錐曲線的第二定義可知點M的軌跡為橢圓。故選D。

圖2

點評:利用二面角為定值這一特點轉化為橢圓的定義。

2.軌跡為拋物線

例4如圖3,在正方體ABCDA1B1C1D1中,P是側面BB1C1C內一動點,若P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是( )。

圖3

A.直線 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

解析：由C1D1⊥平面BB1C1C,得PC1⊥C1D1,所以PC1就是點P到直線C1D1的距離,故條件轉化為點P到BC的距離等于點P到點C1的距離。根據拋物線的定義知點P的軌跡所在的曲線是拋物線。故選D。

點評:本題的解答巧妙利用了題中某些定值定量條件,轉化為定義法來判定動點軌跡。這其實也是解析幾何中求軌跡問題常用的方法之一。

3.軌跡為雙曲線

例5已知直線e?α,點P?α,過點P引與直線e成45°角的直線交平面α于點Q,則點Q的軌跡是( )。

A.兩個點 B.雙曲線

C.橢圓 D.拋物線

解析：如圖4,過點P作PO⊥α于點O,以過點O與直線e平行的直線為y軸,以OP為z軸建立空間直角坐標系,過點Q作OA⊥x軸于點A。設Q(x,y,0),則A(x,0,0),由于P點固定,不妨設P(0,0,h),由題意知OA=PA,所以y2=x2+h2。故選B。

圖4

點評:建立空間直角坐標系把立體幾何與解析幾何直接聯系起來。

四、軌跡為空間圖形

例6如圖5所示,已知在每條棱長都為3 的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動,另一個端點N在底面ABCD上運動,則MN的中點P的軌跡與直平行六面體的面所圍成的幾何體的體積為( )。

圖5

解析：由題意知,當點M或N與點D重合時,DP=1;當不重合時,M,N,D三點構成直角三角形,DP為斜邊上的中線,DP=1。所以點P的軌跡是以D為球心,半徑為1的球在直平行六面體內的部分。由題意知∠ADC=120°,所以。故選B。

點評:利用MN為定長這一特點,巧妙轉化為球的定義進行求解。

通過以上幾例,不難發現,解決立體幾何中的軌跡問題的關鍵在于把不同平面上的條件轉化到同一平面中去,然后用解析幾何方法去求軌跡。