基于GeoGebra的“正態分布”模型構建與活動探究

張志勇　張加紅

摘要： 正態分布有著廣泛的實用性和優美的數學特性，但高中生知識和生活經驗不足，學習存在一定的“難”和“困”。梳理正態分布的前世今生，思考分布的特質疑難，探索利用GeoGebra的可視化優勢設計探究性活動，旨在讓學生在親身操作中發現正態分布的奧妙，在直觀形象中實現從離散型隨機變量到連續性隨機變量的跨越，在數與形的關聯比較中認識參數的涵義價值。探討“可”與“能”、評析“變”與“進”，關鍵在于利用可視化看見不可見，借助問題引領提升核心素養。

關鍵詞：正態分布；數學探究；GeoGebra；概率密度

大數據時代，概率與統計已經廣泛應用于社會生活的各個方面，法國數學家拉普拉斯說：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題。”如何在大數定理、抽樣分析、中心極限定理等知識內容缺失的情形下，幫助學生形成數據意識、提升數據分析素養？如何優化基于數據表達現實的方法路徑？如何運用數學方法收集數據、提取信息，進而構建模型、推斷結論？……筆者以“正態分布”為例，探討如何在GeoGebra軟件的支持下，構建可視化學習環境，幫助學生在探究活動中認識正態分布的模型本質。

一、在內容解析中認識“難”與“困”

顧名思義，正態分布指“正常狀態或自然狀態”下的分布，現實世界中很多隨機變量都服從或近似服從正態分布。同時，蘊涵客觀事實和客觀規律的正態曲線有著諸多優良特性，如流暢對稱的優美線條，反映分布“常態”的“ 3σ原則”等。

（一）正態分布的前世今生

早在1734年，法國數學家棣莫弗在研究二項概率的近似計算時，用定積分代替求和，得到，首次揭開正態密度函數的神秘面紗，但沒有用于刻畫隨機現象的概率分布。

1809年，德國數學家高斯《天體運動理論》一書出版。該書涉及隨機誤差分布的確定，所使用的數據分析方法，正是以正態誤差分布為基礎的最小二乘法（1801年計算“谷神星”軌道的方法）。高斯回應了當時天文學中處理數據觀測誤差的棘手問題^[1]：

設真值為θ，n個獨立測量值為X₁，X₂，…，X_n測量值的聯合概率

L（θ）=L（θ;X₁，X₂，…，X_n）=f （X₁-θ） f （X₂-θ）… f （X_n-θ），其中f為待定的誤差密度函數。

高斯直接取使L（θ）達到最大值的=（X₁，X₂，…，X_n），作為θ的估計（估計值稱為極大似然估計），這是極大似然思想的首次亮相。高斯采用了逆向思考問題的方法，先承認算術平均 是應取的估計，再找到誤差密度函數f，使得誤差分布導出的極大似然估計正好等于算術平均值 ；經證明，所有函數中唯一滿足條件的就是f （x）=[即為正態分布N（0，h²）]。高斯提出了極大似然估計的思想，同時又解決了誤差的概率密度分布問題，因此正態分布也稱“高斯分布”。

（二）正態分布的特質挖掘

如果連續型隨機變量X的概率密度函數為f （x）=，x∈R（其中μ∈R，σ＞0為常數），則稱X服從正態分布（normal distribution），記為X～N （μ，σ²）。特別地，當μ=0，σ=1時，稱X服從標準正態分布。其中f （x）稱為正態密度函數，f （x）的圖象即為正態密度曲線，F（x）=P （X≤x）=f （t）dt為X的分布函數。

由X的密度函數及圖象可以發現，正態密度曲線是“中間高兩邊低”的鐘形曲線（如圖1），具有以下特征。（1）對稱性：曲線關于直線x=μ對稱；當x＜μ時曲線上升，當x＞μ時曲線下降。（2）單峰性：曲線在x=μ處達到峰值；當丨x丨無限增大時，曲線無限接近x軸。（3）等積性：曲線下方和x軸上方范圍內的區域面積為1，即P（-∞＜X＜+∞）=1。（4）扁尖性：σ越大，曲線越扁平；σ越小，曲線越尖陡。（5）3σ原則：隨機變量X的取值落在區間（ μ-σ，μ+σ）內的概率約為68.27%，落在區間 （μ-2σ， μ+2σ）內的概率約為95.45%，落在區間（μ-3σ，μ+3σ）內的概率約為99.73%；也就是說X的取值幾乎總是落在區間[μ-3σ，μ+3σ]，在此區間以外取值的概率大約只有 0.0027。

（三）正態分布的疑難聚焦

我們知道，正態密度函數f （x）=中有兩個參數：均值μ稱為位置參數，決定分布的中心位置；標準差σ稱為形狀參數，σ的變化影響曲線的形狀（高度和寬度）、決定曲線峰值高低。正態密度函數解析式結構復雜，學生只能知其然很難知其所以然。缺乏體驗的生搬硬套，難以洞悉參數σ影響曲線形狀的變化規律，對于“3σ原則”“當X～N （μ，σ²）時，Z=服從標準正態分布N （0，1） ”，只能“紙上談兵”，落入無法言傳的尷尬境地。

對于正態分布的處理，教材多是從分析測量誤差數據引入，強調“隨著樣本數據量越來越大，分組越來越多、組距越來越小，頻率直方圖的輪廓越來越穩定，趨近一條光滑的鐘形曲線”^[2]。然而，頻率直方圖不斷加密（數據量越來越大）揭示正態密度函數需要經歷3次質的飛躍：從直方圖到概率密度曲線的極限理解，再從概率密度曲線過渡到具有兩個參數的正態分布密度函數，最后根據正態分布密度函數確定函數的兩個參數恰好是數學期望和方差^[3]。從歷史視角看，正態分布的發現，源于棣莫弗的二項概率逼近工作，成于高斯的測量誤差理論。從離散型隨機變量過渡到連續型隨機變量的探究，教師不僅要讓學生“看到”正態分布的出處，感悟頻率直方圖逼近正態曲線、二項分布趨近正態分布的極限理解，而且要幫助學生直觀“發現”正態分布的特性，如從二項分布的數學期望到正態曲線的對稱性，從頻率分布直方圖的小矩形面積為頻率到正態曲線與x軸之間的面積為1，等等。所有這些都離不開可視化技術的賦能創新。

二、在技術挖掘中探討“可”與“能”

作為一款服務教與學的動態數學軟件，GeoGebra實現了“形”（幾何Geometry）與“數”（代數Algebra）的深度融合：指令輸入和工具構造使動態演示過程更加逼真生動；代數運算系統（CAS）的無縫嵌入為數學探究提供完美支持。

對于正態分布，學生可以使用GeoGebra的“概率計算器”視區直接操作探究（如圖2）：打開“概率計算器”視區，繪制單個正態分布曲線，改變分布參數輸入值，探究曲線的形態變化，思考參數對曲線的影響和關聯；輸入或拖動滑動條改變區間范圍，借助給定區間范圍的計算值的即時呈現理解概率的涵義；或者切換“累積”選項，借助P（X≤x）的度量值的變化感知分布函數與密度函數的差異。探究復雜一點的構造則需要在繪圖區里展開：選中“概率計算器”視區，在右鍵菜單中點擊“復制到繪圖區”命令，導出分布圖形到繪圖區；或者輸入指令“正態分布（<平均數>， <標準差>， <變量值>， <是否累積？ true|false> ） ”，直接繪制正態分布曲線。繪圖區中同時呈現二次分布直方圖和正態曲線，改變“試驗次數”和“頻率值”動態展示從二項分布到正態分布的動態逼近，不僅可以進行不同概率分布間的縱向比較，而且可以繪制多條正態曲線，在橫向比較中認識位置參數μ，分析形狀參數σ對正態曲線的影響。

應用GeoGebra構建正態分布的可視化學習情境，可以突破因知識基礎不足帶來的學習之“難”和生活體驗缺失導致的探究之“困”，為學生探究正態分布提供無限“可”與“能”：提供豐富的概率分布實例，在操作實踐中感悟趨勢逼近，在動態變換中發現分布特性，在直觀想象中抽象概率模型……

三、在活動探究中提升“學”與“養”

數學探究活動是“圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程”^[4]。學生在GeoGebra支持下開展探究活動，經歷正態分布的模型建構過程：在直觀想象、數學抽象中發現和提出有意義的數學問題，在邏輯推理、數學運算中學會有邏輯地表達和交流，在發現、創造的過程中養成質疑、反思的習慣，在數學探究，活動操作中發展數學學科核心素養。

（一）情境創設，模型初見

問題1：我們知道，二項分布基于n重伯努利試驗，即“隨著實驗次數的增加，頻率穩定在概率附近”。那么，隨著n的逐漸增大，頻率分布、二項分布會呈現怎樣的樣態呢？

探究實驗：在圖3所示的場景中，選中“概率計算器”視區，點選“二項分布”選項，修改“試驗次數”和“成功概率”的輸入值，觀察概率分布條形圖的變化，直觀感知二項分布的性質；在“繪圖區”中，拖動滑動條改變試驗次數，在連續動態變化中認識概率分布的趨勢逼近。在圖4所示的場景中，增大樣本量、細化分組，在頻率直方圖的動態演變中進一步感知正態分布的極限存在，從量變到質變，從直觀到抽象，如同棣莫弗當年一樣瞥見正態曲線。

設計意圖：正態分布的發現，源于棣莫弗的二項概率逼近工作，成于高斯的測量誤差理論。正態分布的情境引入有兩條路徑：從二項分布逼近導入，感悟二項分布逼近正態分布的極限理解；由測量誤差數據分析導入，“看見”光滑鐘形曲線的漸變趨近。雖然沒有微積分的推演論證，但在可視化技術的支持下，可以讓學生學會用數學眼光看問題并增強數據意識。相比較而言二項分布條形圖更規整，學生易于看出正態曲線的存在性；而誤差數據分析的結果更真實，對學生數學抽象能力要求更高。在探究中，教師要提醒學生關注分布圖、直方圖的特性，如對稱性、增減的趨勢等，這是探究正態分布特性的基礎和準備。

（二）特性思考，模型想象

問題2：在前面的探究中，我們已經“看”到了正態曲線，結合二項分布圖和誤差數據直方圖，會發現正態曲線的哪些性質？進一步，能用一個函數模型來擬合正態曲線嗎？

思想實驗：學生以小組為單位，結合圖3、圖4的探究場景，討論正態曲線的可能性質；并嘗試擬合相應的函數解析式，以滿足所得到的曲線性質。

設計意圖：在圖象的示意啟發下，正態曲線的多數性質，如對稱性、單峰性、扁尖性等，“顯”而易“見”。教師引導學生重走高斯當年路，結合性質想象解析式，在反向思考中嘗試有限度的數學再創造。在圖象的支持下按圖索驥有一定的可行性，如由對稱性想到丨x丨、x²，由單調性想到、，由最大值想到e^-丨x丨，e^-x2，…，再由均值μ反映數據集中水平，標準差σ決定數據離散程度，猜測解析式中μ、σ的可能位置。

僅憑數學探究得出完整的正態曲線的解析式當然不現實。事實上，嚴密的數學推導，如系數的得出，不僅需要完整的微積分知識儲備，而且需要深刻理解正態分布內涵。但學生對模型進行想象探究，有利于反向思考正態曲線的特性，同時也是為理解解析式做前置思考。在思想實驗告一段落后，教師給出正態密度函數的解析式、講解正態分布的定義并適當介紹正態分布解析式的數學發現歷史（如圖5）^[5]，在敘述數學研究不易的同時，凸顯以列舉方式嘗試的價值和必要。

（三）參數探究，模型理解

問題3：μ、σ是正態密度函數f （x）=中的兩個重要參數，那么均值μ、標準差σ是怎樣影響并決定正態曲線的形狀和特性的？

探究實驗：在圖6所示的探究場景中，學生度量、計算后確認正態曲線的形狀特性；改變陰影部分區間范圍，借助區間范圍內的面積刻畫，獲得分布函數F（x）的直接認識，深化對稱性、等積性的內涵認識。拖動滑動條改變μ、σ的數值，觀察比較正態曲線位置、形狀的相對變化，準確描述正態曲線的扁尖性。進一步地，學生可借助對“μ動σ定”和“μ定σ動”情形下系列正態曲線的整體連續展示（如圖7和圖8），深刻理解參數含義。

設計意圖：對于對稱性和單峰性，學生通過正態曲線的直觀圖象即可發現，借助密度函數解析式則可進行數學驗證。對于等積性，由于缺少微積分的數學基礎，學生需要有概率計算作鋪墊，同時從頻率分布直方圖的矩形面積反向推證解釋。扁尖性是數學探究的重點，學生不僅要感知單個圖象，而且要建立整體認知。教師如此設計探究活動，不僅是為了學生獲得曲線性質，更重要的是認識參數含義。

有別于離散型隨機變量，連續型隨機變量X的取值不能一一列舉且任意單點值處的概率都是0。教材回避了分布函數F（x）的概念（P （X＜a）=

f （x）dx、P （a≤ X≤b）= f （x）dx），只是“規定”區間概率為x軸上方、正態曲線下方圍成的區域面積。由于高中階段不研究一般的連續型隨機變量，于是圖6中的概率度量計算，其實有結合具體案例滲透分布函數F（x）概念之意。在教學中教師只有讓學生多些操作體驗才能彌補“規定”的欠缺。

（四）尺度把握，模型深化

問題4：參數μ、σ決定著正態曲線的位置和形狀，那么不同“高矮”“瘦胖”的正態曲線有著怎樣的相似基因呢？選擇怎樣的方案開展進一步的探究？

探究實驗：在圖9所示的探究場景中，學生拖動滑動條觀察不同正態曲線中相似區間跨度內的概率值的變化，發現結果的相似性；從而認識“3σ原則”。

設計意圖：探究活動不限于確認“3σ原則”，還指向不同正態曲線的“相似性”：“概率值P （ μ-kσ≤X≤μ+kσ）是一個只與k有關的定值”，說明σ是正態分布的尺度參數（用于丈量不同分布的相同規律），從而為不同正態分布間的相互轉化提供依據，即“當X～N （μ，σ²）時，Z=服從標準正態分布N （0，1）”。事實上，學生借助標準正態分布數值表，可反推計算任意正態分布的隨機變量概率值。

四、在行動反思中評析“變”與“進”

正態分布廣泛存在于自然現象、生產和生活實踐中，并且鐘形曲線對稱流暢，密度函數性質優美，是不可多得的數學研究對象。然而，學生知識基礎薄弱，生活經驗缺失，普遍難于理解這部分內容。為解決學生“知道是什么，但不知道為什么”的問題，教師應以幫助學生經歷正態分布的模型建構過程為目標，可基于GeoGebra設置四階段的數學探究活動，讓他們在初見、想象、理解、深化的過程中，理解正態分布概念，發現正態曲線性質。

（一）信息技術賦能，可視化中看見不可見

二項分布的趨勢逼近、頻率直方圖的極限演變、概率數值的即時計算、參數變化下的整體印象……GeoGebra構建的“所見即所得”的關聯情境，以“形”之長彌“數”之短，讓學生發現正態分布、建構密度函數模型，順理成章、自然流暢。特別有意義的是，因為有豐富的實例和直觀的圖象支持，教師可以設計反向擬合正態密度函數解析式的思想實驗，讓學生重走高斯當年路，體驗數學研究的樂趣和不易。

教師在技術賦能下開展數學可視化教學，將抽象的數學對象以可看見的表征形式直觀呈現，可以使數學的關聯性變得可見甚至可操作，幫助學生形象、直觀、整體地認識和理解，進而洞悉數學本質。如圖9中對尺度參數的認識，從正態曲線的“相似性”到不同正態分布間的相互轉化，源于教材又高于教材。這樣的可視化沒有弱化學生的邏輯抽象，而是帶來了更高的觀念滲透和更深的思維啟迪，讓學生有更多的可能參與更高層次的思考與解決數學問題等活動。

（二）活動探究助力，問題引領下提升素養

數學教師固然應該教會學生許多必要的數學基礎知識，但重要的是促進“人—知”互動，讓學生在習得知識的過程中領悟數學思想。在正態分布的教學中，設置了四階段的探究任務，讓學生在親身操作中發現正態分布的奧妙，在直觀形象中實現從離散型隨機變量到連續性隨機變量的跨越，在數形關聯比較中認識參數的含義價值。“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”，學會用數學方法思考，提升數學學科核心素養，離不開數學探究活動的歷練和信息技術的加持。

理想的數學探究應該盡可能由學生自主操作，“自主發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案”。然而，如果教師完全放手不管只會讓學生手足無措。教師需要設計有梯度的探究活動，為學生提供適合的探究平臺和實驗情境，并以問題串的方式啟發思路、提示方法。因此，設置合理而有梯度的問題鏈，提供必要的腳手架，以有效降低探究的門檻，尤為關鍵。過于寬泛、過于碎片都是不可取的，教師既不能放任不管又不能“嚼爛了喂給學生吃”。教師應在學生思維“關節點”與“關鍵點”處駐足停留，在關鍵環節、關鍵思想方法上啟發學生思考。

注：本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“基于核心素養的高中數學大單元教學價值意蘊與路徑探析研究”（編號：SJMJ/2021/10）、國家社會科學基金教育學一般課題“‘雙減背景下義務教育階段作業設計研究”（課題批準號：BHA220139）的階段研究成果。

參考文獻

[1] 陳希孺．數理統計學簡史[M].長沙：湖南教育出版社，2021： 88-89．

[2] 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學 必修性必修 第三冊[M].北京：人民教育出版社，2020：84．

[3] 曹廣福，羅荔齡.中學數學部分概率內容的教學策略[J].數學教育學報，2018（5）：17-24.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版 2020年修訂[S].北京：人民教育出版社，2020：35.

[5] 李玲，徐章韜.正態分布的教學設計：從歷史中尋找學生認知生長點[J].數學教育學報，2023（2）：12-17.

（作者張志勇系江蘇省常州市第五中學正高級教師，江蘇省首批蘇教名家培養對象，江蘇省高中數學名師工作室主持人；張加紅系江蘇省常州市田家炳高級中學副校長，高級教師）

責任編輯：祝元志