信息化賦能數學探究，項目式提升育人價值

周遠方　張利

摘要：在“正方體截面的探究”活動中，教師采用信息化教學和項目式學習相結合的方式，合理地使用信息技術幫助學生建立數學直觀，引導學生對正方體的截面特征、做法和性質進行深入探究，讓學生在真實的問題情境中感悟數學本質，提升數學核心素養，可視化展示探究全過程。信息技術與數學探究深度融合，促進了信息技術的精準使用、項目教學的精細實施和探究成果的精彩展示，實現了數學探究活動的育人價值。

關鍵詞：正方體截面；數學探究；信息技術；項目式學習；育人價值

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標準”）將數學探究活動與數學建模活動列為課程主題之一。數學探究活動的重要性不言而喻。但是，教師在設計與開展數學探究活動時，對教學不夠重視，普遍存在實踐經驗不足、信息技術缺乏、示范課例較少等問題。基于此，中國教育學會中學數學教學專業委員會在第十屆高中青年數學教師課例展示活動中，選取課程標準中的第11個課例“正方體截面的探究”作為指定課題，并明確給出了如下的內容要求和教學提示。

內容要求：綜合利用基本立體圖形的結構特征、基本圖形位置關系中的結論、定理，引導學生探究、發現、證明正方體截面的形狀、大小等的變化規律，積累數學探究的經驗。

教學提示：這是一項數學探究活動，學生可以在一節課中完成其中的一部分，用課余時間獨立完成整個探究任務，并撰寫報告。教師可以重點展示課堂上的探究部分，引導學生提出問題，并根據當地條件采取不同方式進行探究。探究的難點是分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或者一定不存在。教師應鼓勵學生操作、觀察，進而猜想、證明結論，在逐漸深入的探究過程中，提高發現問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力，在具體情境中提升直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養，積累數學探究活動經驗。

上述內容要求與教學提示，特別強調將信息技術融合到創設探究情境、開展探究活動和提煉探究方法等環節之中，體現課程標準重視信息技術應用的宗旨，有效指導了數學探究活動的實施。

在“正方體截面的探究”的同課異構中，山西省實驗中學教師張永剛（執教“課例1”）和湖北省宜昌市第一中學教師李智偉（執教“課例2”）表現尤為出色。兩位教師按照課程標準的要求，充分發揮信息技術直觀便捷、資源豐富的優勢，幫助學生發展數學核心素養，共同演繹了兩節數字化探究正方體截面的范例，獲得好評。有興趣的讀者可參閱課例1^[1]和課例2^[2]的教學設計。筆者結合這兩個課例，介紹利用信息技術開展探究活動的方法并給予具體評價。

一、借助信息技術創設問題情境，實現項目式學習的深度探究

怎樣體現數學探究活動教學的精準化、高效化和個性化？如何實現數學探究活動的教、學、評一體化？針對這些問題，在數學探究學習活動中，教師應將信息技術作為引導學生學習和探究的重要輔助手段，搭建學生、教師和技術之間相互交流的平臺，為學生探究提供豐富的資源。

兩個課例，教師十分重視信息技術與數學探究的深度融合，采用“直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算”的探究策略，開展了基于信息技術進行項目式學習的實踐探究。兩個探究活動非常成功，不僅設計合理、任務安排得當、探究特點鮮明，而且實施有序、展示成果豐厚、個性特點突出，展現了數字化探究正方體截面的全過程。兩位教師都針對學生的探究活動設計了信息化與項目式相結合的學習流程（如圖1），放手讓學生獨立發現問題和提出問題，借助信息技術共同分析問題和解決問題，為數學探究活動的教學提供了有效的實施路徑。

課例1中，教師讓學生課前用GeoGebra軟件或幾何畫板等工具制作了“正方體的截面”課件^[3]。學生在此過程中，學會了運用計算機輔助教學（CAI）的復合、分解等手段，對圖形進行分割、疊加、拼湊，使得截面變化更加形象直觀。制作者利用信息技術工具動態演示，將不同圖形在各種位置的變化過程淋漓盡致地演示出來，簡明直觀，令人印象深刻。

為幫助學生提高數學探究能力，將學生從模仿者逐步培養成為探索者，課例2中的教師實施本原性問題驅動下的探究式教學，即選取正方體截面中的本原性問題為引子，模擬數學家做數學研究的情境，讓學生經歷數學問題發現、分析和解決的過程，回歸探究的本真。教師按“選題、開題、做題、結題”四環節組織探究活動，上課前期下發“正方體截面探究的項目學習任務單”給學生，要求學生借助信息技術思考并完成探究任務。四項探究任務分別為：截面有沒有可能是直角三角形；截面有沒有可能是直角梯形；截面有沒有可能是正五邊形；截面有沒有可能是正六邊形。教師將全班分成幾個小組，要求各組安排時間集中研討，完成選題和開題的活動任務，接受中期檢查，完成課題。教師將學生自主探究任務置于課前，確保學生有充足的探究時間，提高了探究質量；將探究過程融入“問題鏈＋任務單”的情境活動中，課堂上以結題和交流為主，以信息技術輔助展示為輔，提升了探究效果。

教師設計項目學習任務單有助于學生進行可視化觀察與操作，形成猜想，證明結論。探究教學的前提是如何讓學生真實探究，這也是教師設計探究活動的依托。這兩個課例中，教師引導學生開展項目式學習，有利于學生深度學習。

二、借助信息技術直觀感知截面，實現探究途徑的多樣化

教師讓學生借助信息技術觀察正方體截面形狀的動態變化過程，有助于激發學生對探究活動的興趣。從探究方法來看，兩個課例的執教者都是讓學生利用信息技術工具，先操作觀察，再猜想證明，最后獲得結論，遵循研究一個數學對象的一般路徑（事實—發現—猜想—論證），采用多樣化的探究方式，尤其是融合幾何畫板等數字化工具對正方體截面圖形進行動態呈現，引導學生探究。

信息技術與數學探究的深度融合，既可以有效減少學生的機械想象、重復運算和低階思維現象，又能夠適當增加學生的算法思想、模型思想和高級思維活動，還能夠更好地幫助學生發現問題、提出猜想和驗證結論。兩位教師都十分注重將技術與探究有機結合，充分發揮信息技術在可視化分析截面形狀、動態化呈現截面變化和直觀化探究截面性質等方面不可替代的作用。

例如，在課例1中，學生利用GeoGebra軟件探究，發現連接正方體各棱中點的截面正好為正六邊形的情形，進而再利用基本事實進行推理論證。又如，在課例2中，學生借助手持圖形計算器，展示了截面圖形在正方體表面投影形狀的變化，較好地實現了抽象思維過程可視化。

探究活動中，信息技術的恰當使用，有效地拓展了探究方式，優化了學生觀察、操作、發現、猜想、推理、論證、體驗和實踐等系列化探究的過程，提升了數學探究的效率、質量和育人功能。

三、借助信息技術探究截面性質，實現研究成果的可視化

教師采用項目式學習的方式教學，利用信息技術引導學生探究正方體的截面問題，有助于激活學生的理性思維，得到富有價值的探究成果。兩個課例的成果匯報展示表明，學生不僅給出了具有廣泛價值的結論，而且給出了具有推廣深度的結論，超出預期，非常精妙，說明了信息技術對學生提升研究能力與創新意識有加持作用。

例如，在課例1的成果展示活動中，為完成第2個探究任務，學生使用GeoGebra動態跟蹤軌跡功能，演示截面為三角形和四邊形的各種情形，并經過探究，利用基本事實證明了“截面不可能是直角梯形”的結論。又如，在探究是否存在平面與正方體每條棱所在直線所成的角相等時，學生借助GeoGebra先找出棱GF、GH、GC與底面FGH所成的角相等，再利用GeoGebra動態跟蹤軌跡功能，模擬平面與正方體相截的過程，觀察與截面FCH平行的平面系（如圖2），直觀地感受和認知。

再如，在探究正方體所得截面面積何時最大時，教師引導學生按照從特殊到一般的思路，先直觀比較正三角形、菱形、矩形、正六邊形等幾個特殊圖形的截面面積的大小，再考慮一般意義的截面面積取得最大值的各種情形，最后讓學生結合數學運算和邏輯推理得出截面為矩形時面積最大，即任意一個平面截正方體所得截面面積的最大值為棱長的倍。

教師將引導學生利用信息技術深度探究正方體截面作為一條主線，有利于學生在直觀中學會抽象、在探究中學會提煉、在推理中學會表達。

四、借助信息技術推進探究過程，實現育人價值的智能化

兩個課例中，教師均借助信息技術推進探究過程，圍繞正方體截面的探究要求，讓學生自主確定探究課題、設計探究思路、選擇探究方法，讓信息技術、動手操作和數學實驗伴隨探究活動的全過程，突出了學生的主體地位，改變了滿堂講、滿堂問、滿堂練的教學模式，充分發揮了信息技術輔助數學探究的價值功能。

教師利用信息技術，引導學生在項目式學習活動中探究，將探究問題聚焦在學生的興趣點上，能有效激發學生的好奇心、想象力和探究欲，培育學生的探究意識、創新精神和實踐能力。兩個課例中，信息技術運用之巧、項目式學習方法之妙、探究活動成效之好，都達到了新的高度。各種信息技術和數學實驗交融，讓學生如身臨其境全程參與，凸顯了數學探究活動的跨學科育人價值，實現了教學的個性化、高效化和智能化。

總之，在數學探究活動教學中，教師合理地使用信息技術，可以有效地幫助學生建立數學直觀，提升理性思維，讓學生在問題情境中，感悟數學的本質，發展數學核心素養，養成數學探究學習的良好習慣。

參考文獻

[1] 張永剛．“興趣”引領，“項目”實施——“正方體截面的探究”教學設計與反思[J].中國數學教育，2021（3）：45-52．

[2] 李智偉．改變學習方式，凸顯數學育人——“正方體截面的探究”教學設計與反思[J]．中國數學教育，2021（3）：45-52．

[3] 周李曉，李征．借助GeoGebra進行正方體截面問題的可視化探究[J].中小學數字化教學，2022（2）：57-60．

（作者周遠方系湖北省教育科學研究院正高級教師、特級教師，蘇步青數學教育獎獲得者；張利系湖北省教育考試院助理研究員）

責任編輯：祝元志