函數思想在高中數學解題教學中的應用策略

張麗英

【摘要】在新課改背景下，將函數思想融入高中數學解題教學中，有助于學生核心素養(yǎng)的發(fā)展及解題教學質量的提升.就目前情況來看，部分學生在參與解題訓練的過程中仍存在盲目解題、難以理清題目線索、解題效率較低等問題.為突破現狀，文章從函數思想的具體內涵以及其在高中數學解題教學中的應用價值出發(fā)，探究如何在不等式問題、幾何問題、方程問題、數列問題等題型練習中應用函數思想，以期幫助學生養(yǎng)成運用函數思想解題的習慣，提高解題效率.

【關鍵詞】函數思想；高中數學；解題教學

在高中階段，解題教學是數學課程中的重點內容，但部分學生在解題中缺乏對知識內容的整體認識，解題思維存在一定的局限性，因而導致其數學成績始終無法得到提升.高中數學中包含了諸多思想，函數思想是其中的一種重要解題思想，幫助學生形成良好的函數思想有利于其形成一題多解、舉一反三的解題能力.因此，教師應充分關注函數思想的重要價值，將其運用于實際的解題教學中，突破傳統(tǒng)題海戰(zhàn)術的桎梏，助力學生全面發(fā)展.

一、函數思想的具體內涵

函數的本質就是變化與對應，在變化與動態(tài)中，找尋兩個量之間始終不變的對應關系.在高中階段的數學學習中，不等式、幾何、方程、數列等均屬于靜態(tài)的，用常規(guī)的思想難以準確描述其本質特征，而函數思想能順利解決這一問題，以動態(tài)的方式對內容作出詮釋，建立函數關系或構造函數，使問題得以解決.

二、函數思想在高中數學解題教學中的應用價值

函數思想主要體現了處于變化中的量和量之間的關系，幫助學生養(yǎng)成運用函數思想解決數學問題的習慣具有以下價值：第一，在解題教學中，培養(yǎng)學生運用函數思想解題的習慣，有助于學生深化對函數的本質認識，構建完善的知識體系，強化自身學習理解能力.第二，引導學生采用函數思想解決數學問題，可突破常規(guī)解題教學以教師為主導的現狀，充分凸顯學生的主體地位，幫助學生形成自主解題的良好習慣，并能使學生在函數思想的引領下掌握科學的解題方法，逐漸提高自身解題效率.第三，學生掌握了函數思想解題的基本步驟，就可以掌握復雜的數學知識，讓函數成為串聯各知識點的主線，從而在循序漸進中領悟數學知識的內在聯系，提高自身核心素養(yǎng).

由此可見，在高中數學解題教學中應用函數思想，有助于發(fā)展學生思維能力及提升課堂教學質量.因此，在實踐中，教師需要深刻把握函數思想的具體內涵，基于學生的思維能力合理設計、安排教學內容，營造良好的學習氛圍，幫助學生實現全面發(fā)展.

三、函數思想在高中數學解題教學中的應用策略

（一）不等式解題中函數思想的應用

不等式是高中數學中的基礎內容，通過建立函數思想模型結合數形圖像能快捷地解決此類問題.在指導過程中，教師可以引導學生基于函數思想，利用分布區(qū)間獲得數據，將不等式轉化為便于思考、理解的函數形式，從而規(guī)避在常規(guī)計算中容易出現的問題.

以人教版必修第一冊“基本不等式”為例，學生在本課學習中需通過具體實例理解不等式，并在梳理等式性質的基礎上，以類比的方式探究不等式性質，解決相關不等式問題.結合重點內容，教師可為學生設計這樣一道題目：設a>b>c，且a+b+c=0，拋物線y=ax2+2bx+c被x軸截得的弦長為l，求證：3

思路分析 首先，根據題意可以發(fā)現弦長l是與a，b，c相關的變量，能夠建立l=f（a，b，c）的表達式，從而確定該函數的值域，而為明確l=f（a，b，c）的值域，則需解決“1.求變量l關于a，b，c的解析式.2.將多元函數通過集中變量、消元或變量代換轉化為一元函數.3.確定一元函數的定義域.”這三個問題.

從上述解題過程不難看出，運用函數思想解決不等式問題，能極大地提高解題效率，通過相互轉化可順利地完成解題.在此基礎上，為幫助學生發(fā)展思維能力，掌握函數思想在不等式問題中的解題方法，教師還可以設計舉一反三的延伸問題，引導學生利用構造函數的方式解決：“當x∈（1，2）時，不等式x2+mx+4<0恒成立，求m的取值范圍”這一變式問題，提高學生舉一反三的能力.

如上，運用函數思想解決不等式問題，可以幫助學生進一步體會利用函數觀點統(tǒng)一方程及不等式的數學思想方法，使其掌握解決問題的基本技巧，在訓練中加以運用，最終提高知識解題能力.

（二）幾何解題中函數思想的應用

幾何問題是高中階段數學的核心內容，復雜的立體幾何等內容在高考中分值占比較大，運用函數思想能順利解決此類問題，提升解題質量.因此，在教學中教師應合理引導學生基于函數思想處理幾何問題.

以人教版高一必修第二冊“立體幾何初步”為例，基于重點內容，教師可為學生提供相關練習，引導學生掌握函數思想在不同幾何問題中的應用方法：如圖所示，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC于點D，BC=CD=AD=1.

（1）令PD=x，∠BPC=θ，將tanθ表示為x的函數，并求其最大值；

（2）在直線PA上是否存在一點Q，使得∠BQC>∠BAC成立.

思路分析 （1）為尋求tanθ與x的關系，可以將θ轉化為∠PCD-∠PBD.

如上，將立體幾何與代數融合起來可幫助學生運用函數思想快速解決此類問題，在后續(xù)練習中，教師還需要勤加指導，注意培養(yǎng)學生的耐心和專注力，使學生逐漸掌握解題方法.

（三）方程解題中函數思想的應用

方程由一個未知數或多個未知數的等式組成，方程與函數之間具有密切聯系，通過簡單的轉化可以使學生運用函數思想，抓住數與式的特點，使問題得以解決.在解題教學中，教師需要引導學生勤加練習，提高自身學習能力，結合函數與方程之間的內在聯系完成解答.

如上，在講解方程問題的過程中，教師可以通過函數思想的滲透，引導學生掌握科學的解決問題的方法，從而幫助學生在訓練中深化對方程的根與函數零點關系的理解以及利用函數圖像確定零點個數的基本方法，提高學生思維能力，把握數學知識之間存在的聯系.

（四）數列解題中函數思想的應用

從近年來高考試卷的內容不難發(fā)現，數列版塊逐漸擴增，對學生解題思維提出了更高的要求.然而，部分學生在解決數列問題的過程中，通常會采用常規(guī)的計算方法，此種方式既耗費精力，還可能出現計算失誤.基于這一情況，在講解數列相關問題的過程中，教師可以引導學生將其視為一種特殊的函數，從而降低數列知識的難度，順利求解.

如上，在解決數列問題的過程中應用函數思想，能幫助學生減輕計算負擔，切實提高其解題效率.除此之外，考慮到部分學生較為粗心，在完成解題后，教師還可以引導學生進行驗算，以逆向推理的方式整理正確答案.

結 語

綜上所述，在高中數學解題教學中，教師應通過函數思想的滲透，為學生講解便捷性解題技巧的使用方法，幫助學生在訓練中感受函數思想解題的優(yōu)勢，逐漸掌握函數思想解決數學問題的訣竅，積累豐富的解題經驗，巧用函數思想，開啟數學解題之門.相信在廣大教師的共同努力下，高中數學解題教學質量將得到顯著提升.

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