基于函數思想的高中數學解題探究

朱坤密

【摘要】函數思想是解決數學問題的一種思維策略，培養學生基于函數思想解題的能力可有效發展學生思維，達到提高學生問題解決效率的目的.目前，部分學生在進行數學解題的過程中時常會被復雜的公式、煩瑣的表象困擾，難以找到突破口，解題效率與質量不盡如人意.為提高學生解題效率，發展學生思維能力，文章從函數思想在高中解題中的常用方法以及應用意義出發，立足函數思想與數學解題的內在關聯，探討如何在不等式、數列、立體幾何等題型練習中應用函數思想，降低解題難度.旨在幫助學生在函數思想的引領下，實現思維能力的發展.

【關鍵詞】函數思想；高中數學；解題；教學策略

解題教學是高中數學教學中的重點內容，以問題為導向引導學生在解題過程中能深化理論知識的理解，順利地完成知識的遷移與運用.掌握數學意味著善于解題，函數思想貫穿學生高中學習的整個階段，在解題教學中引導學生基于函數思想解決問題，不僅能幫助其利用函數將各個零散知識進行串聯，構建完善的知識體系，而且能提高學生的思維能力，使學生掌握舉一反三、一題多解等技能，對其后續學習發展大有裨益.因此，教師需要深入解析函數思想的基本內涵，并結合高中生思維能力及教學內容，完善解題教學形式，幫助學生靈活運用，提高其解題能力.

一、函數思想在高中數學解題中的常用方法

現階段在高中數學解題教學中，大部分教師在應用函數思想解題時通常會采用整體法、遞推法及歸納假設法，為更好地發揮函數思想的價值引領，筆者對以上三種常用方法進行解釋.

“整體”即為由內在關系部分所組成的體系對象，各個組成部分之間存在某種聯系.整體法需要學生細致閱讀題目信息，明確數學問題整體與局部之間的關聯，基于整體角度對數學問題進行整合，使用函數思想進行求解.此種方法對學生思維能力以及知識遷移能力具有較高要求.

遞推法通常適用于具有規律的數學題，學生可以利用函數思想結合題目中的線索，根據遞推關系構建與之相應的函數，如在高中階段常見的等差數列、等比數列等運用遞推法，可提高解題效率.

部分數學題目由于學生不了解其中的具體性質，在解題過程中可以借助函數思想從整體角度出發進行歸納與假設，得到結果后再以逆推的方法將結果帶入原式進行驗證.

二、在數學解題教學中應用函數思想的意義

函數思想主要體現了處于變化中的量和量之間的關系.幫助學生養成運用函數思想解決數學問題的習慣具有以下價值：基于函數思想解決問題可以通過函數的意義綜合不同知識點，使得函數成為主線串聯各知識點，幫助學生構建更為完善的知識體系，掌握復雜數學知識，提高學習效率；運用函數思想解決數學問題，可以幫助學生擺脫在過往解題過程中無序思考的問題，養成嚴謹的邏輯思維，根據函數的本質及概念探尋其與題目的內在聯系，在解題中深化對相關數學知識的理解；在解題教學中滲透函數思想可以幫助學生提高解題能力，使學生形成具備運用函數思想解題的意識，從多種角度探尋數學問題與函數之間的內在聯系，逐漸養成一題多解、舉一反三的基本能力.

由此可見，在高中數學解題教學中滲透函數思想，能幫助學生在提高解題能力的同時形成嚴謹的邏輯思維，構建知識體系，對其核心素養的形成具有積極的促進作用.因此，教師需要及時轉變自身教育理念，向學生傳授函數思想解題的基本方法，幫助學生形成良好的自主探究意識.

三、在數學解題教學中應用函數思想的策略

（一）函數思想在不等式問題中的應用

不等式是學生接觸高中階段數學學習的初始章節，也是學生接觸一元二次函數的重要基礎.為幫助學生提高問題解決能力，在解決不等式相關問題的過程中，教師可以引導學生回顧初中階段學習過的一次函數與不等式知識，從實際情境中抽象出一元二次不等式的求解過程，建立起不等式與函數之間的內在聯系，從而利用函數的觀點將其統一整合，凸顯數學知識的聯系性與整體性，便于學生輕松解決不等式問題.

以人教版A版數學教材必修第一冊“二次函數與一元二次方程、不等式”一課教學為例，在本課學習中，教師可以設計這樣的一道問題：

某知名化妝品工廠引進了一款全新的美白產品，已知這條生產線所生產的產品數量x（件）與創造的價值y（元）存在y=-2x2+220x的函數關系.若該工廠老板想在“雙十一”期間，利用一周實現該產品6000元以上創收，則工廠這一周內大約需要產生多少件該產品？

解析 在解決此問題的過程中，教師首先應指導學生仔細讀題，整理重要線索，根據題意得到不等式-2x2+220x>6000，并通過移項得出x2-110x+3000<0.然后，教師可以指導學生根據“方程x2-110x+3000=0，Δ=100>0，方程有兩個實數根x1=50，x2=60”，運用函數思想，畫出二次函數y=x2-110x+3000的圖像（如圖1）：

結合圖像教師可以指導學生主求解，得到不等式解集{x|50

在解決不等式相關問題的過程中，教師通過引導學生基于函數思想進行解題，可以幫助學生進一步體會利用函數觀點統一方程及不等式的數學思想方法，從而有效提高學生解決問題的質量與效率.

（二）函數思想在數列問題中的應用

近年來，高考試卷中經常出現數列問題，許多學生在計算過程中極容易陷入慣性思維，出現結果計算失誤從而導致丟分的問題.基于這一情況，在講解數列問題的過程中，教師可以利用函數思想，指導學生將數列視為一種特殊的函數，將數列中的數字視為自變量，根據函數思想當自變量不斷增大時便可以得到相應數值的函數，最后根據圖像完成數列問題的解答.

以人教版A版數學教材必修第二冊“等差數列”一課教學為例，在講解等差數列的通項公式時，教師利用一次函數知識指導學生完成對通項公式an=a1+（n-1）d的記憶，可為學生提供了這樣的一道問題，并指導學生運用函數思想求解：

已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=10，公差d=-2，求Sn的最大值，以及取得最大值時n的值.

數列問題是高中數學教學中的重點項目，引導學生使用函數思想解決數列問題，可以幫助學生避免在復雜的運算中迷失方向，借助函數的相關性質，以清晰的圖像高效且迅速地解決此類問題，從而在訓練中提高解題準確率，為學生后續參與高考做好準備.

（三）函數思想在立體幾何中的應用

在解答立體幾何相關問題的過程中，為幫助學生掌握函數思想在解析幾何解題過程中的應用，教師可以發揮技術手段的優勢，整理并搜集其他地區的高考試題或模擬練習題，幫助學生在訓練中了解題型的特點，掌握良好的解題技巧，提高自身解題能力.

以人教版A版數學教材必修第二冊“空間點、直線、平面之間的位置關系”一課教學為例，在本課教學中，教師可向學生提供了2012高考真題江西卷中的一道問題：

如圖3，已知正四棱錐S？ABCD所有的棱長都為1，點E是側棱SC上一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x（0

在立體幾何中運用函數思想解決相關問題，能夠幫助學生更好地掌握幾何知識，但是由于立體幾何時常出現在大題中，運用函數思想解題計算量相對較大，因而教師在指導學生訓練的過程中也要注意對學生耐心、專注力的培養，防止其出現計算失誤等情況，影響其數學成績.

結 語

綜上所述，在高中數學解題教學中滲透函數思想，能夠幫助學生掌握科學的解題方法，提高自身思維能力，在函數思想的指引下構建完善的知識體系.為提升解題教學質量，教師應深入分析函數思想的具體內涵，并結合高中生的思維能力以及教學內容進行設計，保障每一名學生都能夠在良好的學習環境中取得收獲，積累知識.相信在廣大教師的共同努力下，高中數學解題教學質量將會得到穩定提升，學生能夠通過解題訓練提高數學成績，發展自身綜合能力.

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