解題中化歸轉化的“五種策略”

賀姣妮

摘要：數學解題中，化歸轉化思維表現極其活躍.具體應用化歸轉化思維解題時，揭示聯系，分析問題，創造條件，創新應用，遵循基本的解題策略，實現化歸與轉化的目的.結合實例剖析，就常見的化歸轉化過程中的解題策略加以應用，開拓數學思維，優化數學品質，提升數學能力.

關鍵詞：化歸；轉化；策略；思維；創新

數學解題的實質是數學知識與數學思維的化歸與轉化過程.因而在實際解題過程中，要從題設條件入手，朝著結論的方向，從不同視角、不同側面、不同知識等方面去探討問題的破解，尋求合理有效的解題途徑與方法.在此過程中，要遵循化歸與轉化過程中的熟悉化原則、簡單化原則、直觀化原則等一些基本原則.本文中結合實例，就解題過程中化歸轉化的基本解題策略加以剖析.

1 正向向逆向的轉化

問題的題設和結論之間往往存在著一定的因果關系和辯證關系.具體解題時，若從問題的正面入手切入時思維受阻，可以反其道，從它的反面出發，借助逆向思維，經常可以收獲不錯的效果，另辟捷徑.

例1 （2022年高考數學新高考Ⅱ卷·5）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）.

A.12種

B.24種

C.36種

D.48種

所以甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種.

故選擇答案：B.

點評：從正面入手，情況比較復雜，不易操作；合理轉化，從反面視角切入，確定“甲站在兩端”的不同排列方式，進而利用補集思維進行分析，處理起來更加直接有效.在破解一些涉及“不”“至少或至多”等相關問題時，經常借助補集思維，通過正向向逆向轉化來分析與處理.

2 局部向整體的轉化

問題往往由局部與整體進行合理有效的組合而形成，在解決一些比較復雜的數學問題時，可以從總體角度加以把握，從整體入手，秉持全局觀念，不單打獨斗，往往會有不錯的收獲.

例2 （2021年云南省玉溪市峨山一中高考數學三模試卷）為了給數學家帕西奧利的《神圣的比例》畫插圖，列奧納多·達·芬奇繪制了一些多面體，如圖1的多面體就是其中之一.它是由一個正方體沿著各棱的中點截去八個三棱錐后剩下的部分，這個多面體的各棱長均為2，則該多面體外接球的體積為（）.

此時正方體的中心即為多面體外接球的球心.

而球心到多面體頂點的距離

故選擇答案：D.

點評：從條件入手直接利用多面體外接球的性質來處理，不易找到突破口，容易出錯；而把多面體還原補形為正方體，進而確定正方體的中心即為多面體的外接球的球心，從局部還原到整體，合理化歸與轉化.從局部上升到整體，從另一個視角來分析，往往會有不錯的效果.

3 未知向已知的轉化

類比化歸與轉化是知識遷移與學習能力提升的一種基本途徑.數學解題中，往往要抓住題目中已知關鍵信息，將未知的結論與已知的條件進行類比轉化與類比推理，答案往往就在其中，巧中取勝.

點評：從平面中點到直線的距離公式這一已知信息入手，通過合理化歸與轉化，利用類比推理可得空間中點到平面的距離公式，化未知為已知，實現問題的轉化與突破.類比推理往往可以實現低維度向高維度的化歸與轉化，實現未知向已知的過渡與轉變，突破界限.

4 抽象向具體的轉化

對于一些抽象的數學問題，可以結合抽象問題的幾何意義或其他特征，合理具體化，構建聯系，建立與之對應的數學模型，將其轉化為熟知的數學問題，從而啟迪解題思路，尋找解決問題的突破口[1].

C.f（-1）=f（4）

D.g（-1）=g（2）

分析：依題意，通過特值法，探尋特殊的函數，結合原函數與導函數所對應的函數均是偶函數，引入三角函數加以合理構造.

而g（x）=f′（x）=πcos πx，則有g（2+x）=πcos（2π+πx）=πcos πx，故g（2+x）也是偶函數.

因此，以上構造的特殊函數f（x）滿足題目條件.

綜上分析，選項BC正確.故選擇答案：BC.

點評：由抽象函數的基本性質，構建與之相應的具體的特殊函數，實現抽象向具體的轉化，進而利用特殊函數進行求值與判斷.構建滿足題設條件的數學模型，是實現抽象向具體轉化的一種基本手段，也是破解數學小題比較常用的一種特殊技巧方法.

5 個別向一般的轉化

華羅庚說過：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的決竅.”具體解題時，可以借助特殊現象的研究，再借助類比、分析、歸納、遷移等去概括一般性的規律，由此實現問題的解決.

A.-3

B.-2

C.0

D.1

解析：令x=1，y=0，則有f（1）+f（1）=f（1）＼5f（0），結合f（1）=1，可得f（0）=2.

令y=1，可得f（x+1）+f（x-1）=f（x）f（1）=f（x），即f（x+1）=f（x）-f（x-1），

所以

f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=2，f（7）=f（6）-f（5）=1，歸納可知f（x）的周期為6.

故選擇答案：A.

點評：根據題設抽象函數所滿足的關系式，借助特殊賦值法處理，構建相應的函數遞推關系式，利用前若干項函數值的求解，由個別到一般加以轉化，通過歸納來確定函數的周期性，進而利用函數的周期性來分析與求解.歸納推理往往可以達到從個別到一般的轉化與應用，也是破解問題常用的一種推理方式.

著名的數學家、莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題.”在實際的數學解題過程中，其實質就是從未知向已知、從復雜到簡單、從抽象到具體等的轉化.合理熟練掌握一些基本的解題轉化策略，可以開拓數學思維，優化數學品質，提升數學能力，培養數學核心素養[2].

參考文獻：

[1]王東.化歸轉化思想在三角恒等變換題型中的應用[J].中學數學，2022（15）：70-71.

[2]曾麗萍，王奇南.滲透數學思想 提升核心素養——以化歸與轉化思想的教學為例[J].福建中學數學，2022（5）：28-30.