對(duì)一類(lèi)基本不等式錯(cuò)解問(wèn)題引發(fā)的深度探究

江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)淮安市新淮高級(jí)中學(xué)(223001)王恩普

在復(fù)習(xí)基本不等式求最值這類(lèi)題型時(shí),有部分學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤的解法,但是卻不認(rèn)為有問(wèn)題,亦或是感覺(jué)有問(wèn)題又不知錯(cuò)在哪里,很是困擾,筆者對(duì)此進(jìn)行了深入的探究.

1 錯(cuò)解呈現(xiàn)

例1已知a>0,b>0,a+b=1,求的最小值.

錯(cuò)解過(guò)程由a> 0,b> 0 知:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),由可得:此時(shí),則所求最小值為6.

我們知道答案顯然是錯(cuò)的,那么錯(cuò)在哪里呢?

2 類(lèi)比示錯(cuò)

為了解決這樣的問(wèn)題,先從一個(gè)最基本的求最值問(wèn)題開(kāi)始研究:

例2已知x>0,求的最小值.

分析由基本不等式易知: 當(dāng)x>0 時(shí),,當(dāng)且即當(dāng)即x=2 時(shí)取等號(hào),即的最小值為4.

但若類(lèi)比本文開(kāi)頭的解題邏輯, 也可以這樣處理: 當(dāng)x>0 時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)取等號(hào),此時(shí)可得,即的最小值為.

還可以再換一種方案來(lái)處理: 當(dāng)x> 0 時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即x= 1 時(shí)取等號(hào),此時(shí)可得,即的最小值為5.

如果繼續(xù)按照類(lèi)似的方案來(lái)處理,將得到更多不同的結(jié)果,此時(shí)學(xué)生也意識(shí)到根據(jù)基本不等式建立不等關(guān)系,得到取等條件,再根據(jù)取等條件求出的x值回代求最值的思路是存在問(wèn)題的,文首的雙變量求最值問(wèn)題亦是如此,但是到底錯(cuò)在哪里呢?

3 理性釋疑

參考上述錯(cuò)解過(guò)程的做法, 當(dāng)x> 0 時(shí),, 僅僅表示這個(gè)不等式是恒成立的, 此時(shí),記,x> 0,則不等式表示的幾何意義是: 在y軸的右側(cè),f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方(可以有交點(diǎn)),如圖1,而取等號(hào)的條件對(duì)應(yīng)的x則表示f(x)的圖象與g(x)圖象相切時(shí)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo),換言之,若按照這樣的方法求出的最值,其結(jié)果是由左邊配湊后的式子決定的,而將每改變一種配湊形式,將得到不同的函數(shù)g(x),同時(shí)切點(diǎn)的位置也隨之變化,而其橫坐標(biāo)可以取像前文中的1,,亦或是大于0 的每一個(gè)數(shù).

結(jié)合開(kāi)頭展示的正確過(guò)程: 由x> 0,根據(jù)基本不等式知:,當(dāng)且僅當(dāng)即x= 2 時(shí)取等號(hào),由此可知只有當(dāng)x=2 的時(shí)候f(x)取得最小值,那么此時(shí)的過(guò)程為何正確呢? 繼續(xù)來(lái)看圖象,如圖2,此時(shí),g(x) = 4,由于g(x)的圖象是一條與y軸垂直的直線,同時(shí)f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方,取等號(hào)的條件則對(duì)應(yīng)著f(x)的圖象與g(x)圖象的切點(diǎn)處,即x= 2 時(shí)f(x)有最小值,此時(shí),也就說(shuō)明了使用基本不等式求最值時(shí)不等號(hào)的右側(cè)應(yīng)該是個(gè)定值,至此,我們不僅找到了錯(cuò)誤的根源,也明白了應(yīng)該如何去處理.

圖2

文章開(kāi)頭給出借助基本不等式求雙變量類(lèi)型最值問(wèn)題,其錯(cuò)解原因也是一樣的,其實(shí)這也是平時(shí)提煉出的利用基本不等式求最值時(shí),要注意“一正二定三相等”的原則,“一正”保證了基本不等式可用, 而“二定”則是指使用基本不等式時(shí),不等式的一側(cè)應(yīng)為常數(shù)(不含變量),得到了可能產(chǎn)生的最值,“三相等”則是驗(yàn)證了最值的存在性,而文首出現(xiàn)的錯(cuò)誤則是沒(méi)有真正理解“二定”的原則.

4 鞏固提升

當(dāng)從根本上理解了錯(cuò)誤的原因之后,接下來(lái)通過(guò)一組題來(lái)看下此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)如何處理.

例3已知a>b>0,a+b=1,求的最小值.

解由a>b>0 知a-b>0,且有(a-b)+2b=1,則

評(píng)注過(guò)程中在上乘以(a-b)+2b,目的是為了配湊出與這兩個(gè)積為定值的代數(shù)式,進(jìn)而求出最值.

例4已知a>b>0,a+b=1,求的最小值.

解由a>0,b>0,a+b=1 知:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)由a+b=1 可得,則的最小值為3.

評(píng)注過(guò)程中的1 用a+b來(lái)代換,其目的也是為了配湊出和這一對(duì)積為定值的代數(shù)式,從而使得問(wèn)題得到解決.

例5已知a>b>0,且,求ab的最小值.

解由a>b> 0 知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),而,則有,化簡(jiǎn)可得ab≥8,由與ab=8 可得a=2,b=4,則ab的最小值為8.

評(píng)注本題中雖然開(kāi)頭運(yùn)用基本不等式建立的不等關(guān)系的右邊不是定值,但是此時(shí)結(jié)合題中的條件可以得到ab≥8,也是符合前文研究的基本不等式求最值的情況,只是稍微間接了一點(diǎn),此時(shí)得到了兩個(gè)不等關(guān)系,需要驗(yàn)證兩個(gè)不等式成立的公共條件是否成立.

例6已知a>b>0,求的最小值.

解由題知,當(dāng)且僅當(dāng)a4=1即a=1 時(shí)取等號(hào),由a>b>0 知.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 由a= 1,可得,a=1,,則的最小值為

評(píng)注同例5,過(guò)程中運(yùn)用了兩次基本不等式才使得不等式的一側(cè)為常數(shù),則需要去進(jìn)一步驗(yàn)證兩次使用基本不等式取等的條件能否同時(shí)成立.

5 思想升華

除了利用基本不等式可以直接解決一些最值問(wèn)題,還可以借助于這種求最值的思想來(lái)幫助我們解決一些較為復(fù)雜的問(wèn)題,而且有著事半功倍的效果.

例7函數(shù)f(x)=xex-ax+b的圖象在x=0 處的切線方程為:y=-x+1.

(1)求a和b的值;

(2)若f(x)滿(mǎn)足: 當(dāng)x> 0 時(shí),f(x) ≥lnx-x+m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解(1)a=2,b=1.(過(guò)程略)

(2)分析 常規(guī)的做法是構(gòu)造函數(shù)直接求最值,但是此時(shí)求最值的過(guò)程會(huì)涉及到隱零點(diǎn)代換等方法, 過(guò)程相對(duì)復(fù)雜,對(duì)學(xué)生的推理能力要求比較高,而下面的解法則較為簡(jiǎn)潔.

由f(x) ≥lnx-x+m知,m≤xex-x-lnx+1,由ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)取等號(hào))知

當(dāng)且僅當(dāng)x+lnx=0 時(shí)取等號(hào),令g(x)=x+lnx(x>0),則, 則g(x) =x+ lnx在定義域上單調(diào)遞增, 又,g(e) = e + 1 > 0,則存在x0使得g(x0) = 0, 即x+ lnx= 0 有解, 即有(xex-x-lnx+1)min=2,則m≤2.

評(píng)注題中的求最值過(guò)程采用了放縮法,正是基本不等式法求最值思想的本質(zhì)體現(xiàn),而放縮法之所以可行,正是因?yàn)榻?gòu)的不等式的一側(cè)是定值,而后面的過(guò)程則體現(xiàn)了取等這個(gè)另一重要的環(huán)節(jié),完美的展現(xiàn)了方法與思想的遷移.

往往一個(gè)錯(cuò)誤的解法都是有其原因的,有時(shí)只是根據(jù)提供的解答進(jìn)行糾正,強(qiáng)行入駐大腦,也許只是過(guò)眼云煙,因此,我們有必要去探究這樣的解答錯(cuò)了沒(méi)有,錯(cuò)在哪里,為什么錯(cuò), 對(duì)此進(jìn)行充分研究之后, 才真正的走進(jìn)深度學(xué)習(xí), 當(dāng)然,在此基礎(chǔ)之上,能將掌握的知識(shí),方法,思想進(jìn)行發(fā)展,遷移,會(huì)將更好的提升自身的創(chuàng)新能力.