勤思善研探過程砥礪深耕提能力

陜西省西安市高新第三中學(710075)呂二動

在中高考改革與教學創新的今天,越來越多中高考試題呈現出回歸教材的趨勢,課本知識是學習的基礎和根本,對課本知識進行適當的研究和拓展,會有意想不到的收獲.不僅有利于拓寬數學視野,深化對數學知識的認知和理解,還可以提升學生解決問題的能力,培養學生的數學核心素養.

引例如圖1, 點A在反比例函數xy= 2 上, 點B在反比例函數xy= -1 上,且?AOB是等邊三角形,求?AOB的面積.

圖1

筆者在一本教輔資料看到此題,感覺此題具有豐富的內涵和研究價值,便對該題做了深入研討,具體如下:

一、介紹兩個引理

引理1平行四邊形ABCD內接三角形DEF,則

引理2矩形ABCD內接正三角形CEF,則S?AEF=S?CDE+S?BCF.

證法1如圖2.設EC= 2a, ∠DCE=θ, 則∠BCF= 30?-θ, ∠AEF= 30?+θ, 從而S?CDE=2a2sinθcosθ=a2sin 2θ.同理S?BCF=a2sin(60?-2θ),S?AEF=a2sin(60?+2θ).故

圖2

即S?CDE+S?BCF=S?AEF.

證法2如圖3, 設EC= 2a, ∠DCE=θ, 則∠BCF= 30?-θ, ∠AEF= 30?+θ, 從而S?CDE=2a2sinθcosθ=a2sin 2θ.同理S?BCF=a2sin(60?-2θ),S?AEF=a2sin(60?+2θ).作CT= 2a,∠TCE= 2θ, 則∠FIC=60?+2θ.從而

圖3

即S?CDE+S?BCF=S?AEF.

證法3如圖4,設AB=a,BC=b,BF=x,DE=y,則AF=a-x,AE=b-y, 且(a-x)2+ (b-y)2=x2+b2=y2+a2,從而

圖4

①×a2- ②×b2得a2x2-b2y2-2(ax+by)(a2-b2)=0,即(ax+by)(ax-by-2a2+2b2)=0,所以ax-by-2a2+2b2=0.

將by代入①中得到:b2-2ax+4a2-4b2-2ax+x2=0,即(x-2a)2=3b2,,同理.所以.

因為

從而S?BCF+S?CDE=S?AEF.

證法4如圖5, 作?CDE∽= ?CFI, 則∠ICB=∠IFA= 30?, 由S?CIF+S?CBF=S?BIF+S?CBI得,即2ay+2bx=ab+xy,即ay+bx= (a-x)(b-y), 從而S?BCF+S?CDE=S?AEF.

二、性質研究

結論1已知點A在反比例函數xy=k1(k1>0)上,點B在反比例函數xy=k2(k2< 0)上,且?AOB是等邊三角形,則?AOB的面積是

解析如圖6,根據引理2 可得

再由引理1 可得

注前面引例的問題就會迎刃而解,即為.

結論2已知直線y=kx+t(k0) 與反比例函數xy=m(m0) 交于兩點, 連接OA,OB, 且?AOB是等邊三角形, 則

證明如圖7, 設一次函數y=kx+t與x軸,y軸相交于,D(0,t) 兩點.由反比例函數性質可知AD=BC, 又OA=OB, ∠OAD= ∠OBC, 所以?OAD?OBC, 所以OC=OD.故kAB= -1 即化簡得ab=m,又因為OA=AB,所以,即a2-4ab+b2=0.又因為b>a,解得,所以.所以,所以.

圖7

圖8

圖9

結論3已知直線y=kx與反比例函數xy=k1相交于A,B兩點, 點C在反比例函數xy=k2(k1·k2< 0)上, 且?ABC是等邊三角形, 則k2= -3k1,.

證明連接OC, 分別過點A,C作AM⊥y軸、CN⊥y軸, 交y軸于點M,N.因為?ABC是等邊三角形, 所以OC⊥AB, 且.因為∠OMA= ∠CNO=90?, 且∠AOM= ∠OCN, 所以?OMA∽?CNO, 又,所以S?ONC= 3S?OMA即k2= -3k1.設A(xA,yA),聯立,所以

故k2=-3k1,.

結論4設P(x0,y0)是反比例函數xy=k(k0)上任意一點,過點P(x0,y0)作其切線l分別交x軸,y軸于A,B兩點,則點P是線段AB的中點,且?AOB的面積為定值,即S?AOB=2|k|.

證明由xy=k(k0) 得, 求導得, 則過點P(x0,y0) 的切線l的方程為,令x=0 時,,令y=0時,,又,則xA= 2x0,yB= 2y0,所以點P是線段AB的中點,S?AOB= 2|x0y0| = 2|k|,故點P是線段AB的中點, 且?AOB的面積為定值, 即S?AOB=2|k|.

結論5設P(x0,y0)是對勾函數上任意一點, 過點P(x0,y0) 作其切線l分別交y軸, 直線y=ax于A,B兩點,則點P是線段AB的中點,且?AOB的面積為定值,即S?AOB=2|b|.

結論6設P(x0,y0)是雙曲線上任意一點,過點P(x0,y0)作雙曲線的切線l分別交漸近線于A,B兩點,則點P是線段AB的中點,且?AOB的面積為定值,即S?AOB=ab.

注結論5、6 的具體證明過程可仿照結論4 的證明,留給有興趣的讀者!

三、變式研究

結論7直線y=kx(k> 0) 與反比例函數xy=k1(k1> 0) 相交于A,B兩點, 點C在反比例函數xy=k2(k2<0),則三角形ABC的面積的最小值為.

證明設A(x0,y0),C(xC,yC), 則B(-x0,-y0), 由解得,

點C到直線kx-y= 0 的距離為.又因為xcyc=k2,所以

結論8直線y=kx(k>a)與函數相交于A,B兩點, 點C在函數, 則三角形ABC的面積的最小值為.

結論9直線y=kx(k> 0) 與反比例函數xy=k1(k1>0)相交于A,B兩點,點C在圓:x2+y2=r2(r>0),則三角形ABC的面積的最大值為.

結論10直線y=kx(k> 0) 與反比例函數xy=k1(k1> 0) 相交于A,B兩點, 點C在橢圓:, 則三角形ABC的面積的最大值為.

結論11直線y=kx(k>a)與函數相交于A,B兩點, 點C在橢圓:, 則三角形ABC的面積的最大值為.

由于篇幅有限,具體證明可仿照結論7 的證明過程.

通過對引例的研究和拓展發現,我們對典型試題應從不同角度去思考,挖掘試題的本質,從而更好地解決新的問題,推理出新的結論,葉圣陶先生說過“教材無非是個例子”,我們應該充分利用好這個“例子”,才能將其思想和方法內化為學生的數學能力和數學素養.