《數(shù)學(xué)通訊》問題608 的解答與推廣

江西省貴溪市第四中學(xué)(335400)吳善祥

本文考慮如下的多元變量代數(shù)式的最值問題:

問題(《數(shù)學(xué)通訊》2023 年第5 期問題608[1])已知實(shí)數(shù)a,b,c,d,e滿足a2+b2+c2+d2+e2=1,求

的最大值.

為了解答如上問題,需要用到下面這個(gè)引理:

引理若xi≥0(i=1,2,··· ,n),α>1,則

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=···=xn時(shí)取等號(hào).

證明令f(x) =xα(α>1),f(x)是區(qū)間[0,+∞)上的下凸函數(shù), 由Jensen 不等式知對(duì)任意的xi∈[0,+∞)(i=1,2,··· ,n),有

筆者對(duì)問題608 進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)該多元變量代數(shù)式可以借助絕對(duì)值不等式和上面的引理放縮到一元變量代數(shù)式,將問題轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的最值問題.

1 問題解答

分析由絕對(duì)值不等式

將

放大,不妨設(shè)a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,此時(shí)再不妨設(shè)a≥e,易得

解|a-b| ≤|a| + |b|, 當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0 時(shí)取等號(hào);|b-c| ≤|b| + |c|, 當(dāng)且僅當(dāng)bc≤0 時(shí)取等號(hào); |c-d| ≤|c|+|d|,當(dāng)且僅當(dāng)cd≤0 時(shí)取等號(hào);|d-e|≤|d|+|e|,當(dāng)且僅當(dāng)de≤0 時(shí)取等號(hào).不妨設(shè)a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,此時(shí)再不妨設(shè)a≥e,便有

評(píng)注由于冪平均不等式

使用時(shí)要求xi> 0(i=1,2,··· ,n), 但問題608 中的實(shí)數(shù)a,b,c,d,e的絕對(duì)值不一定都大于零,因此不便使用冪平均不等式來推得

而引理的引入?yún)s能解決這個(gè)問題.

2 問題推廣

波利亞說過:“解題就像采蘑菇,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),還應(yīng)四處看看,它的周圍可能還有一個(gè)蘑菇圈.”筆者深入挖掘問題608 的結(jié)構(gòu)背景,將變量個(gè)數(shù)改成n(n≥2)個(gè),將約束條件的2 次冪改成α(α>1)次冪,做了嘗試性探究,發(fā)現(xiàn)問題608 還可以給出如下變式:

變式已知實(shí)數(shù)ai(i=1,2,··· ,n) 滿足,求的最大值.

分析利用絕對(duì)值不等式

解|ai-ai+1| ≤|ai| + |ai+1|, 當(dāng)且僅當(dāng)aiai+1≤0 時(shí)取等號(hào),i= 1,2,··· ,n- 1, 不妨設(shè)(-1)i+1ai≥0(i=1,2,3,··· ,n).

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),再不妨設(shè)a1≥an,便有

當(dāng)

且an=0 時(shí)取等號(hào).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),