一道橢圓探索性問題的再推廣

北京市第十二中學(100071)蔣海燕 劉剛

文[1]給出了下面的問題及推廣:

引例已知橢圓經過點A1(-2,0),A2(2,0),點B為橢圓E的上頂點,且直線A1B與直線相互垂直.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若不垂直于x軸的直線l過橢圓E的右焦點F2,交橢圓E于C,D兩點(C在x軸上方),直線A1C,A2D分別與y軸相交于S,T兩點,試判斷是否為定值?(答案 (1);(2)是定值,且定值為.)

在此基礎上,得到了下面的推廣:

借助幾何畫板軟件探究,發現點P可以是x軸上除橢圓左、右頂點外的任一定點,y軸變為定直線x=n,依然有相應的定值性質,于是再推廣,得到:

性質1如圖1,已知橢圓的左、右頂點分別為A1,A2,過點P(m,0)(m±a) 作斜率不為0 的直線與橢圓E交于C,D兩點, 直線l:x=n(n±a)與x軸交于點Q,直線A1C,A2D與l分別交于S,T兩點,則.

圖1

證明設C(x1,y1),D(x2,y2), 直線CD的方程為x=ty+m, 與橢圓E的方程聯立, 得(b2t2+a2)y2+2tmb2y+b2m2-a2b2=0,則

由已知得A1(-a,0),A2(a,0), 所以直線A1C的方程為, 令x=n, 得.又直線A2D的方程為, 令x=n, 得,注意到: 由①得,所以

故結論得證.

由橢圓類比雙曲線、拋物線,有:

性質2已知雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2,過點P(m,0)(m±a)作斜率不為0 的直線與雙曲線E交于C,D兩點, 直線l:x=n(n±a)與x軸交于點Q,直線A1C,A2D與l分別交于S,T兩點,則.(證明從略,讀者可參考性質1 的證明過程自行完成.)

性質3如圖2, 已知拋物線E:y2= 2px(p> 0) 的頂點為O, 過點P(m,0)(m0)的直線與拋物線E交于C,D兩點, 直線l:x=n(n0)與x軸交于點Q,直線OC與l交于點S,過D作l的垂線,垂足為T,則.

圖2

證明設C(x1,y1),D(x2,y2), 直線CD的方程為x=ty+m, 與拋物線E的方程y2= 2px聯立, 得y2-2pty-2pm=0,則

又直線OC的方程為,令x=n,得.又yT=y2,注意到: 由②可得ty1y2=-m(y1+y2),于是

故結論得證.