Weitzenb?ck 不等式的新加強(qiáng)

浙江省開(kāi)化縣第二中學(xué)(324300)曹嘉興

1919 年,著名數(shù)學(xué)家Weitzenb?ck 提出了一個(gè)僅含三角形邊長(zhǎng)和面積的不等式[1]:

在?ABC中, 角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c, ?是它的面積,則有

不等式①也曾作為1961 年第3 屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克(ⅠMO)試題.

Weitzenb?ck 不等式是一個(gè)很經(jīng)典的幾何不等式, 百余年來(lái),關(guān)于它的各種證法、加強(qiáng)和推廣的研究一直是初等數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究的熱點(diǎn),本文再給出幾個(gè)新的僅含三角形邊長(zhǎng)和面積的優(yōu)美不等式,并指出這些新的幾何不等式均是Weitzenb?ck 不等式的加強(qiáng).

定理1在?ABC中, 角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,?是它的面積,則有

設(shè)R和r分別表示?ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑, 把a(bǔ)bc= 4Rsr,a+b+c= 2s, ?=sr一起代入不等式⑥得(歐拉不等式),也就是說(shuō)不等式⑥既是Weitzenb?ck 不等式的加強(qiáng),又等價(jià)于著名的歐拉不等式R≥2r,它建立了這兩個(gè)著名不等式的內(nèi)在聯(lián)系,確實(shí)是一個(gè)非常漂亮的基本不等式.