與雙曲線漸近線有關的一組優美性質

廣東省中山市中山紀念中學(528400)謝林濤

雙曲線是圓錐曲線中的重要組成部分,雙曲線與橢圓、拋物線不同之處是雙曲線擁有兩條漸近線,所以圍繞雙曲線的漸近線去設置問題是高考的一個重要考查方向,與雙曲線的漸近線有關的性質和題目也是層出不窮.筆者在研究過程發現與雙曲線漸近線有關的一組優美性質,分享如下.

一、準備知識

1.4 已知三角形?ABC,,則?ABC的面積為.

二、雙曲線中與漸近線有關的一組性質

結論2.1已知雙曲線,O為坐標原點,M(x0,y0)為C上任意一點,C在點M(x0,y0)處的切線與雙曲線得兩條漸近線分別交于點P,Q, 則(1)?OPQ的面積為定值ab;(2)M為PQ的中點.

證明(1) 設切點M(x0,y0), 則由上文1.1 得知, 切線,與漸近線聯立,解得

所以且?OPQ的面積

結論2.2已知雙曲線,O為坐標原點,M(x0,y0)為C上任意一點,過點M作C的兩條漸近線平行的直線,分別交兩條漸近線于A,B兩點,則(1)?OAB,?OMA,?OMB,?MAB,的面積為定值;(2)平行四邊形OAMB的面積為定值.

證明由結論2.1 可知,MA,MB為?OPQ的中位線,所以容易得到?OAB,?OMA,?OMB,?MAB的面積為?OPQ的面積的,即,于是平行四邊形OAMB的面積為定值.

結論2.3已知雙曲線,O為坐標原點,M(x0,y0)為C上任意一點,過點M作C的兩條漸近線的垂線,垂足分別為R,S,則(1); (2) ?MRS的面積為定值; (3) ?ORS的面積為,當a=b,即雙曲線C為等軸雙曲線時,?ORS的面積為定值.

當a=b,代入上式得?ORS的面積為定值.

結論2.4已知雙曲線,O為坐標原點,M(x0,y0) 為任意一點, 直線l過點M,且與C交于P,Q兩點, 與C的兩條漸近線交于G,H兩點, 若M為PQ的中點, 則(1)M為GH的中點; (2)?OGH的面積, 當點M(x0,y0)在雙曲線上(λ為不等于1 的常數) 時,S?OGH=|λ|ab.

證明(1) 由準備知識可知, 直線OM與直線l的斜率之積, 所以, 于是直線l方程為:, 與漸近線聯立, 解得,同理可得,所以

所以M為GH的中點.

評注實際上,由,又點M(x0,y0)在雙曲線上, 我們可知直線l為雙曲線E在點M(x0,y0)處的切線.于是我們有下面結論.

結論2.5已知雙曲線,O為坐標原點,M(x0,y0)為雙曲線上任一點,雙曲線E在點M處的切線l與雙曲線C的兩條漸近線交于G,H兩點,則S?OGH=|λ|ab.

證明因為雙曲線C,E共漸近線,雙曲線方程可化為,由結論2.1 可知S?OGH=|λ|ab.

結論2.6已知雙曲線,O為坐標原點,M(x0,y0) 為雙曲線C上任意一點, 過點M(x0,y0)作雙曲線的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB與雙曲線C兩條漸近線交于G,H兩點,則S?OGH=λ2ab.

證明由準備知識直線, 與漸近線聯立, 解得, 同理可得,于是

三、結論應用

例1(2023 屆T8 聯考)已知雙曲線的左右焦點分別為F1,F2,O為坐標原點, 過F2作漸近線的垂線, 垂足為P,若,則雙曲線的離心率為____;又過點P作雙曲線的切線交另一條漸近線于點Q,且?OPQ的面積,則該雙曲線的方程為____.

解取PF1的中點D,連接OD,則,所以OD⊥OP.計算易得|PF2| =b,所以|OP| =a,.于是,即,所以,計算可得.由結論2.1 可知又, 解得b= 2,, 所以該雙曲線的方程為.

例2已知雙曲線x2-y2=4,O為坐標原點,點P為雙曲線上任意一點,過點P作雙曲線兩條漸近線l1,l2的垂線,垂足分別為A,B,則?OAB的面積為____.

解由結論2.3 可知, 則?OAB的面積為, 其中a=2,即?OAB的面積為1.

例3已知雙曲線,O為坐標原點,點P為雙曲線C1上任意一點,過點P作雙曲線C2的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB與C1的兩條漸近線交于D,E兩點,則?ODE的面積為____.

解由結論2.6 可知?ODE的面積為λ2ab, 其中λ=4,a=1,,代入計算得?ODE的面積為.