一道解析幾何競(jìng)賽試題的拓展探究

甘肅省蘭州市第六中學(xué)(730060)焦永垚

一、試題呈現(xiàn)

例1(2023 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林省預(yù)賽第14 題)已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,0),且其焦距為.

(1)求橢圓M的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)Q(-2,-1)的直線(xiàn)l與橢圓M的下半部分相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,連接PA,PB分別交直線(xiàn)y= -1 于C,D兩點(diǎn).求證: |QC|+|QD|-|QC|·|QD|為定值.

二、拓展探究

若記橢圓的下頂點(diǎn)為R′,則試題第(2)問(wèn)的結(jié)論可化為為定值,經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),可以將此結(jié)論推廣到一般的橢圓中:

結(jié)論1已知橢圓, 點(diǎn)P(a,0),R(0,b),過(guò)點(diǎn)Q(a,b)的直線(xiàn)l與M交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)PA,PB分別交直線(xiàn)y=b于點(diǎn)C,D.設(shè),則為定值.

證明設(shè)直線(xiàn)l的方程為y-b=k(x-a) (k0),與M的方程聯(lián)立可得

由?>0 得k>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

又直線(xiàn)PA的方程為,與y=b聯(lián)立可得,,同理得.由可得xC-a= -λa,則,同理,,于是

類(lèi)比結(jié)論1,可得雙曲線(xiàn)中的類(lèi)似結(jié)論:

結(jié)論2已知雙曲線(xiàn)P(a,0),R(0,b),過(guò)點(diǎn)Q(a,b)的直線(xiàn)l與M交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)PA,PB分別交直線(xiàn)y=b于點(diǎn)C,D.設(shè),則為定值.

證明過(guò)程與結(jié)論1 類(lèi)似,略.

結(jié)論3已知雙曲線(xiàn),P(a,0),R(0,b),R′(0,-b),過(guò)點(diǎn)Q(a,b)的直線(xiàn)l與M交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)PA,PB分別交直線(xiàn)QR′于點(diǎn)C,D.設(shè),則為定值.

證明設(shè)直線(xiàn)l的方程為y-b=k(x-a),與M的方程聯(lián)立可得

直線(xiàn)PA和直線(xiàn)QR′的方程分別為和, 將這兩個(gè)方程聯(lián)立可得, 同理得.又因?yàn)? 所以xC-a= -λa, 則, 同理,, 于是

同樣,在拋物線(xiàn)中也有類(lèi)似結(jié)論:

結(jié)論4已知拋物線(xiàn)M:y2= 2px(p>0), 過(guò)點(diǎn)Q(0,m) (m0)的直線(xiàn)l與M交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)QR與拋物線(xiàn)M相切于點(diǎn)R(R異于坐標(biāo)原點(diǎn)),直線(xiàn)OA,OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))分別交直線(xiàn)QR于點(diǎn)C,D.設(shè),則為定值.

證明設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m,與M的方程聯(lián)立得k2x2+2(km-p)x+m2=0,由?>0 可得2km-p<0且k0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

設(shè)切線(xiàn)QR的方程為y=k′x+m,與M的方程聯(lián)立得k′2x2+2(k′m-p)x+m2= 0,由?= 0 得,直線(xiàn)QR的方程為,且.又直線(xiàn)OA的方程為, 與方程聯(lián)立可得, 同理可得.又因?yàn)?所以xC=λxR,即,同理,于是

三、探究延伸

至此,筆者還感覺(jué)意猶未盡,上述結(jié)論對(duì)一般的極點(diǎn)與極線(xiàn)還成立嗎? 能否得到一個(gè)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一性質(zhì)? 為了更進(jìn)一步探明以上問(wèn)題,我們先介紹幾個(gè)關(guān)于調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線(xiàn)束的定義和性質(zhì).

定義1[1]若A,B,C,D四點(diǎn)共線(xiàn),則這四點(diǎn)A,B,C,D的交比(AB,CD)定義為四條有向線(xiàn)段的比:(其中表示有向線(xiàn)段的數(shù)量).若(AB,CD) = -1,則稱(chēng)點(diǎn)C,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,或稱(chēng)點(diǎn)A,B與點(diǎn)C,D調(diào)和共軛,A,B,C,D為調(diào)和點(diǎn)列.

性質(zhì)1[1]若點(diǎn)C,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,則(其中表示有向線(xiàn)段的數(shù)量).

定義2[2]設(shè)兩點(diǎn)C,D的連線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)Γ 相交于A,B,若線(xiàn)段AB被C,D調(diào)和分割,則稱(chēng)C,D是關(guān)于圓錐曲線(xiàn)Γ 的一對(duì)調(diào)和共軛點(diǎn).

定義3[2]一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線(xiàn)Γ 的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線(xiàn)p,稱(chēng)p為點(diǎn)P(關(guān)于Γ)的極線(xiàn),點(diǎn)P稱(chēng)為直線(xiàn)p(關(guān)于Γ)的極點(diǎn).

特別地,當(dāng)P在Γ 外時(shí),其極線(xiàn)p是從點(diǎn)P所引曲線(xiàn)Γ的兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)所確定的直線(xiàn)(即切點(diǎn)弦所在直線(xiàn))[2].

定義4[2]若A,B,C,D是調(diào)和點(diǎn)列,過(guò)此點(diǎn)列所在直線(xiàn)外任一點(diǎn)P作射線(xiàn)PA,PB,PC,PD,則稱(chēng)這四條射線(xiàn)為調(diào)和線(xiàn)束.反過(guò)來(lái),任一直線(xiàn)與調(diào)和線(xiàn)束相交所截的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

有了以上這四個(gè)定義和一個(gè)性質(zhì),我們就可以把上述競(jìng)賽試題的結(jié)論推廣到更一般的情形,得到圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì):

結(jié)論5已知點(diǎn)Q為圓錐曲線(xiàn)Γ 外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q引Γ 的兩條切線(xiàn)QP,QR,切點(diǎn)分別為P,R,過(guò)點(diǎn)Q的一條割線(xiàn)l與Γ 交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)PA,PB分別交直線(xiàn)QR于點(diǎn)C,D.設(shè),則為定值

證明如圖1, 設(shè)直線(xiàn)l與PR交于點(diǎn)E, 因?yàn)镻R為點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的極線(xiàn), 所以Q,A,E,B是調(diào)和點(diǎn)列,則PQ,PA,PE,PB是調(diào)和線(xiàn)束, 所以由定義4 可得Q,C,R,D也是調(diào)和點(diǎn)列, 則由性質(zhì)1 可得(其中表示有向線(xiàn)段的數(shù)量), 所以為定值.

圖1

四、試題溯源

由調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)與線(xiàn)束的理論不難發(fā)現(xiàn),例1 與下面這道高考題同根同源:

例2(2018 年高考北京卷理科第19 題) 已知拋物線(xiàn)C:y2= 2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線(xiàn)PA交y軸于M,直線(xiàn)PB交y軸于N.

(1)求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍;

(2)設(shè)O為原點(diǎn),,求證:為定值.

分析易得拋物線(xiàn)C的方程為y2= 4x.對(duì)于第(2)問(wèn), 如圖2, 直線(xiàn)QP的方程為y=x+1, 易得此直線(xiàn)恰好與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)P, 則直線(xiàn)OP是點(diǎn)Q關(guān)于拋物線(xiàn)C的極線(xiàn).設(shè)直線(xiàn)l交直線(xiàn)OP于點(diǎn)D, 則Q,A,D,B是調(diào)和點(diǎn)列, 所以PQ,PA,PD,PB是調(diào)和線(xiàn)束, 所以由定義4 可得Q,N,O,M也是調(diào)和點(diǎn)列, 則由性質(zhì)1 可得(其中表示有向線(xiàn)段的數(shù)量),再由條件可得為定值.

圖2

在高考中以調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)與線(xiàn)束理論為背景的試題還有很多,如2023 年高考全國(guó)乙卷理科第20 題、2022 年高考全國(guó)乙卷理科第20 題、2020 年高考北京卷第20 題、2017 年高考北京卷理科卷第18 題等等.雖然調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)與線(xiàn)束的相關(guān)知識(shí)不屬于高考考查的內(nèi)容,但是學(xué)生如果了解這些知識(shí),則在面對(duì)此類(lèi)試題時(shí)能夠居高臨下,直入主題,快速明確解題方向,從而提高解題的成功率.