基于基本活動經驗的概念課教學實踐

顧燕聲

摘 要：概念教學是高中數學課堂的重要組成部分.對于有些高中的概念，學生在初中的學習中已經有所鋪墊和積累，這樣的概念課需要在學生原有的知識基礎上進行拓展與延伸. 這時，需要教師在課堂上能夠激發學生的學習興趣，讓學生感受到新知識與舊知識的異同性，以及在這種延拓的過程中引導學生學會自主思維，向更深層次探尋數學問題的方式方法. 本文以《指數》這節概念課為例，探討怎樣能夠基于基本活動經驗上好一堂概念課.

關鍵詞：高中數學；概念課；活動經驗；教學

數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維形式，在該類對象的范圍內具有普遍意義.^［1］數學概念課是重要的數學教學內容之一，教師通過概念課的教學讓學生掌握某個知識點的概念，形成對某個知識點的基本的、概括性的認識；能夠明確概念的內涵和外延，熟悉其表述；了解概念之間的關系，會對概念進行分類，從而形成概念系統. 在概念課的教學中，教師要引導學生掌握概念的來龍去脈，正確運用概念解決問題.

《指數》這一節概念課不同于高中階段其它知識點，例如《對數》《橢圓》《雙曲線》等，以上這些對學生來說都是全新的內容和體驗，而對于《指數》，學生在初中時就有學習基礎，已經學習過二次根式和三次根式，以及整數指數冪的運算，因此這節課就不是單純的新知識的探索與講授，而是一種加深與拓展，即將整數指數冪拓展到有理指數冪.如何在學生原有知識的基礎上進行再創造，特別是更深入的發現與挖掘，引導學生自己發現冪指數可以從整數范圍拓展到分數指數冪，這種拓展的延續性是什么？差異性是什么？在完成這一拓展之后，能不能讓學生主動去思考無理指數冪是否有意義？這都是這節課亟待解決的問題.

1 《指數》一課教學設計分析

在“問題情境”階段，筆者采用的是啟發引導式的教學方式，首先拋出問題引起學生興趣，讓學生感受到本節課要研究的是一個生活中會出現的有意思的問題，并且值得做深入的探討.

在此過程中，筆者尤其強調情境中的問題的形式結構——“冪”，但是它與學生已經學習過的整數冪存在差別，因此可以順理成章地向學生拋出三個問題，即“這樣以分數為指數的冪，其意義是什么呢？它具有怎樣的運算性質？它和整數指數冪有什么聯系和區別？”一方面，這是提醒學生，雖然已經學過相似的結構，但是它們是有區別的，仍然要認真對待，仔細辨別.另一方面，讓學生帶著問題學習，可以激發學生的學習興趣，培養學生的數學思考意識，提升學生的數學思維能力.再者，也是教導學生，以后再遇到這種在已學知識的基礎上進行拓展延伸的問題時，應該如何來思考、從哪里找出突破口.

在“問題情境”中喚醒了學生對冪的記憶，那么接下來就理應幫助學生回憶整數冪的相關問題，這部分內容的復習主要是為了幫助學生達到“溫顧”的目的，也是充分暗示學生：“今天將要學習的內容是有基礎和鋪墊的，大家要在原有知識的基礎上進行進一步理解今天的新問題.”

在做完以上一系列“熱腦運動”之后，下面即刻進入今天學習的主要內容：

學生在初中已經學習過二次根式和三次根式，因此在教學時不再做過多贅述，而是直接引導學生從n次根式入手，再通過對比二次根式與三次根式，可以知道在n次根式中，n為奇數和n為偶數是不一樣的.在這個過程中，一方面我們實現了字母代替數，將具體問題進行了抽象概括，提高了學生總結數學問題的能力，另一方面，通過對“先開方后乘方”與“先乘方后開方”，即（na）ⁿ與naⁿ這兩種不同運算的辨析，進一步強化了對n次方根的認識.

當然，所有的數學概念都是為數學應用服務的，在與學生進行了一系列概念的辨析之后，筆者給出了“例1”與“例2”這兩個與n次方根概念相關的例題進行隨堂的鞏固訓練，以達到更好地理解概念的效果.在例題的最后提出一個問題，即“當根式的被開方數的指數與根指數不同時，應當如何理解這類式子的意義？”這自然是為了引出這節課的難點——“分數指數冪”的概念.

通過前面的課堂鋪墊，再與學生談論“當根式的被開方數的指數與根指數不同時”這一問題也就變得順理成章了，于是筆者先與學生共同分析“5a¹⁰”與“4a¹²”這兩個式子，即“外小內大”且能被乘除的情況，與初中的“乘方”與“立方”相掛鉤，再進一步類比推理到“3a²”“b”“4c⁵”， 至此正分數指數冪的定義就呼之欲出了，然后探討負分數指數冪、0指數冪，這樣就完成了將學生初中學習的整數指數冪拓展延伸至有理指數冪的過程.進而再類比推理有理指數冪的運算性質. 最后用兩個例題對概念進行鞏固.

這節概念課涉及了多個知識點的概念，而這些概念之間互相有聯系，一遍過后很容易有不清晰和混淆的情況，因此要當堂小結，幫助學生及時消化.

在進行本節課的課堂小結之后，可以說學生對有理指數冪的概念應該已經掌握得很到位了，接下來可以借著這波熱情，將無理指數冪的問題提出來，讓學生在課后進行探討、研究和深入思考.

2 教學啟示

《指數》這節概念課說好上也很好上，利用學生原來對冪的知識，讓其認識到整數指數冪可以拓展到有理指數冪即可，但是說難上也很難上，這種由原來知識到更深入知識的拓展與延伸應該如何進行才能使得這個過程自然而然、順理成章？這就需要老師們對這節課進行研究和設計.

在教學之前，筆者的教學目標有兩個.知識點方面：（1） 通過具體實例，探究并理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質與運算; （2） 通過建立根式與分數指數冪的運算性質，理解分數指數冪的含義，掌握根式與分數指數冪的互化; （3） 體會整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪也同樣適用，并能熟練運用運算性質進行計算.素養目標：培養學生抽象概括能力、數學計算能力，提高學生的數學思維能力，使學生能夠舉一反三，主動地對相似的數學問題進行拓展與研究，具備數學的研究精神與探險精神.

教學過后，筆者回看這節課，又有了許多新的感想. 就《指數》這節課而言，它的特殊性太明顯了，有種不上這堂課學生也能會的感覺，但是細細一想，這樣的會是真的會，還是一知半解？于是，對于這堂“不學就會”的課，如何能夠更好地吸引學生的注意力，讓學生仍舊能夠保持學習的熱情和求知的欲望，并能積極的思考，體會數學概念延拓的重要性，這是本節課中除了掌握數學知識之外需要做到的最重要的事情.

第一，設計問題，讓學生帶著問題展開教學. 這節課的開頭就應該讓學生知道這不是一節初中的復習課，是“形似但神不似”的一堂新課，在這堂新課中我們需要關注的是它與原先學習的整數指數冪的不同之處有哪些. 這樣開門見山的引導一方面可以引起學生對新問題的重視，另一方面，學生能夠在問題的引導下，有明確的學習目標，這樣才能有深入思考和探究的方向. 帶著問題的學習可以激活學生的思維，引發學生的思考，使學生的思維能力、探索欲望得到增強.^［2］筆者認為問題教學，是培養學生主動思考、主動參與課堂的最直接也是最高效的方式，除了概念課，其它如習題課、講評課都可以借鑒. 但是需要注意的是，提出怎樣的問題是老師們需要重點思考的，只有好的問題才能做到事半功倍.

第二，進行類比，讓學生“跳一跳”就能獲得新知識. 在設計教學任務的過程中，首先需要了解學情，客觀正視最近發展區的存在；其次結合任務分析法，在準確把握最近發展區的基礎上，制定科學有效的教學流程.^［3］例如對于“n次方根”，基于學生對平方根與立方根的認識，完全可以讓學生自己發現n次方根的特點. 在從特殊到一般的探索過程中，學生能夠獲得新的知識，也能獲得數學學習的成就感和滿足感，不但能夠大幅度提高他們的數學學習興趣，更能培養數學抽象思維能力和總結概括能力.

第三，變換形式，讓學生能夠體會新舊知識的聯系. 在《指數》這節課上如何過渡到新的概念以及分數意義的指數冪的意義，這點尤為重要.筆者認為以問題的形式，由淺入深，引導學生不斷思考問題、尋求突破，這個過程是學生體會新知識的過程，也是培養學生數學思維能力的過程，也正是“授予漁”的過程.只有學生學會了如何在現有知識的基礎上發現新問題、解決新問題，才能獲得真正的創新意識、創新思維，體會到思考的快樂.

第四，全盤總結，讓學生自主獲得新的概念.教師的課前提問、課堂引導固然重要，但課后的總結也是不可或缺的. 通過系統的總結可以將零散的知識點和概念聚攏起來，讓它們從看似無關，變得實則相關，在課堂最后告訴學生這堂課我們學了什么，可以讓學生的思維變得清晰、理解也更加到位.

不同的概念課，教學設計一定是有很多的差異的. 因課而異，因生而異，但概念是數學學習的基礎，與學生一同發現概念，參與到概念的形成中去，這一點是一致的. 在這個過程中所產生的數學思維能力、問題研究方法、深入學習的意識，能夠很好地提高學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］ 顧明遠.教育大辭典［M］.上海：上海教育出版社，1998.

［2］ 周潔.問題串在高中數學概念課教學中的有效運用［J］.學苑教育，2023（9）：37-38+41..

［3］ 崔紅.基于“最近發展區理論”的高中數學教學案例［J］.中學數學，2021（19）：15-16.