多維聯想 多方探究

范建兵

［摘? 要］ 文章通過一道中考壓軸題的深度剖析，引導師生在解題教學中關注知識融合和圖形解構，多維聯想尋思路，多方探究求生長.

［關鍵詞］ 聯想；突破；探究

試題呈現

試題 （2022年江蘇省蘇州市中考數學卷第8題）如圖1所示，點A的坐標為（0，2），點B是x軸正半軸上一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°后得到線段AC.若點C的坐標為（m，3），則m的值為（ ? ? ）

解法探究

解題教學是數學教學中一種基本的教學方式，又是培養學生理解數學、思考數學的基本途徑.本題設計巧妙，基于課本又高于課本，借助圖形的旋轉，融合了等邊三角形、直角三角形、勾股定理、相似等幾何知識，為學生提供了施展才華的廣闊空間. 現提出幾種解題思路，供大家參考.

思路3 如圖4所示，將線段AO繞點A按逆時針方向旋轉60°后得到線段AD，過點D作DE⊥y軸，交y軸于點E，過點C作CF⊥ED，交直線ED于點F. 根據旋轉可得△AED各邊的長，再由“一線三直角”模型可得△AED∽△DFC，接著根據相似三角形對應邊成比例且CF=2，求得DF的長，從而求出m的值.

思路4 如圖5所示，過點C作CD⊥x軸，交x軸于點D，連接CB，構造∠AEO=∠CFO=60°，先分別解Rt△AEO和Rt△CFD，再通過證明△AEB≌△BFC，得到AE=BF，EB=FC，從而建立方程并求得m的值.

思路5 如圖6所示，與思路4相似，過點C作CE⊥y軸，交y軸于點E，連接CB，構造∠CDE=∠BFO=60°，先分別解Rt△CDE和Rt△BFO，再通過證明△CDA≌△AFB，得到CD=AF，DA=FB，從而建立方程并求得m的值.

……

試題評價

1. 思路探尋，從條件中想關聯

G.波利亞在《怎樣解題：數學思維的新方法》一書中提醒我們：你以前見過它嗎？你是否見過形式稍有不同的類似問題？你能從已知數據中得出一些有用的東西嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎［1］ ？這說明問題的解決離不開聯想，聯想能夠幫助我們有效地、快速地探尋到解題思路.

蘇州前幾年的中考幾何綜合題，往往涉及許多知識點，并且有著較難的圖形識別要求.2022年第8題一改“常態”，以最基礎、最簡潔的幾何圖形（線段）為載體，考查了學生對幾何變換（旋轉）的理解. 題目看似簡單，但簡單圖形中卻蘊含了豐富的思維要求，對學生的幾何直觀、抽象意識、應用意識等素養要求很高. 解題時，我們不妨將試題中的各類知識串聯起來，通過知識的整體性與關聯性展開聯想，尋找可能的解題思路. 如由“旋轉”聯想到變換前后的變和不變，由“60°角”聯想到等邊三角形和特殊角的三角函數值，由“計算邊長”聯想到勾股定理，由“平面直角坐標系”聯想到點的對應、直線解析式、關鍵點的坐標、待定系數法等……

2. 方法探究，從經驗中尋突破

G.波利亞將數學解題劃分為四個階段：讀題、擬訂方案、執行、回顧［2］. 反思以上幾種思路：對于思路1，學生比較容易想到，但它對學生的運算能力要求太高，許多學生看到方程時望而卻步，無法順利求解；思路2和思路3的思考源于對旋轉的深度理解，特別是在平面直角坐標系中，要求學生能將線段AB的旋轉習慣性地看成是△AOB的旋轉（這種思考問題的意識需要教師在平時的教學中不斷滲透），找出其中的定量（點D的位置和點C的軌跡）與變量（點B和點C的坐標），這樣更有利于問題的解決. 順利讀題、擬訂方案、執行方案后，學生還需要養成良好的回顧與反思解題習慣，突破經驗再思考：我是怎么想到的？還可以怎么想？哪種方法更好一些？

3. 模型識別，從解題中找思路

加強解題教學不是同一問題的反復訓練，更不是搞題海戰術. 它的正確做法是通過解題和反思活動，在解題的基礎上總結、歸納解題方法，強化建模意識，提煉數學模型，提升學生素養. 思路4和思路5都應用了“一線三等角”解題模型，借助模型來構造圖形的全等或相似，從而建立方程并求解. 作為一個常練常考的幾何模型，“一線三等角”深受教師和學生的喜愛，在蘇科版教材八年級上冊第35頁和九年級下冊第59頁、第91頁都有明確的“一線三等角”圖例. 教學中，教師要鼓勵學生“窺一斑而知全豹”，引導學生在已有學習經驗上不斷關聯和引申. 圖7至圖12都是“一線三等角”常見的基本圖形（可根據角度大小與相等角的分布進行分類）. 因此，解題教學中增加基本圖形的識別與構造，可以豐富學生的認知結構，完善學生的知識體系，提高學生分析問題與解決問題的能力，提升學生的模型觀念，增強學生的創新意識.

4. 深度探究，在反思中求生長

深度學習是在已有認知結構上的一種完善與遞進. 在問題解決的基礎上，為了讓學生更好地理解問題的解決路徑，實現中考題引發思考和引領教學的潛在功能，我們可以通過對原有問題的再提問、再改編等方式對具體知識進行再建構，以引發師生深度理解，促進解題經驗的再生長.

改編1 基于原題旋轉方向的改編.

如圖13所示，點A的坐標為（0，2），點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按順時針方向旋轉60°后得到線段AC.若點C的坐標為（m，-1），則m的值為____.

改編2 基于原題旋轉角度的改編.

如圖14所示，點A的坐標為（0，2），點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉45°后得到線段AC.若點C的坐標為（m，3），則m的值為____.

改編3 基于原題隱含結論的再挖掘.

如圖15所示，點A的坐標為（0，2），點B是x軸上的一個動點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°后得到線段AC，連接OC，則線段OC的最小值為____.

改編4 基于知識的再融合.

結束語

什么是好題？個人認為好題應該具備來路正、出路廣、融合強、韻味足的特征，源于課本但又高于課本，既能夠體現基本知識和基本技能的考查，又能夠引領學生解題能力的提高和數學素養的提升［2］. 2022年江蘇省蘇州市中考數學卷第8題就是好題的代表，具有圖形簡潔、構造簡單、思路寬廣的好題之韻，讓人流連忘返、回味無窮.

參考文獻：

［1］G.波利亞. 怎樣解題：數學思維的新方法［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2011.

［2］陳偉華. 認清“來路”? ?認準“出路”——以2020年蘇州市中考數學卷第18題為例［J］. 中學數學雜志，2021（10）：53-54.