中考作圖題考查的不僅僅是“作圖”

楊國智 李英

［摘? 要］ 中考作圖題種類繁多，不同的作圖題，其“道理”不盡相同，考查的內容和方法也不相同，這就需要學生有較強的空間觀念、幾何直觀、數學思維能力和動手操作能力，這些題目在落實課程標準要求的基礎上很好地考查了學生的數學核心素養.

［關鍵詞］ 中考；作圖題；數學核心素養

在距離中考還有兩周的時候，我們進行了中考數學適應性模擬檢測，其中填空題的第17小題，我們選擇了2021年四川省自貢市中考數學試卷的填空題第17題. 之所以選擇這道題，原因有兩點：一是作圖題以填空題的形式來呈現，形式比較新穎；二是題目要求只用不帶刻度的直尺，在格點中作圖，有別于傳統的“尺規”作圖. 但分析試卷發現本題的得分率低于0.5，這是為什么呢？

試題1? （2021年自貢中考第17題）如圖1所示，△ABC的頂點均在正方形網格的格點上. 只用不帶刻度的直尺，作出△ABC的角平分線BD（不寫作法，保留作圖痕跡）.

作法解析：延長BC到點E，使得CE為3個單位長度，連接AE，AE恰好經過格點F，作射線BF交AC于點D. BD就是△ABC的角平分線.

在網格中，根據勾股定理易知△ABC的邊AB的長為5個單位長度，延長BC到點E，使得BE的長也是5個單位長度，則△ABE是等腰三角形，∠ABC是等腰三角形ABE的頂角，F是等腰三角形ABE的底邊AE的中點，根據等腰三角形“三線合一”的性質可知，BF平分∠ABC.

本題考查的重點是：作圖——應用——設計，涉及的知識點有勾股定理、等腰三角形的性質等，解題的關鍵是數學知識的遷移和轉化思想的應用.

傳統的尺規作圖

初中數學的作圖題，以尺規作圖為主. 所謂尺規作圖，就是在平面內使用圓規和無刻度直尺通過有限次操作完成圖形與幾何中的作圖問題. 其中，無刻度直尺的主要功能是連接兩點作線段或過兩點作射線和直線；圓規的功能是用來畫圓、弧，截取一條線段等于已知線段. 關于尺規作圖，《義務教育數學課程標準（2022年版）》有明確要求，即能用尺規作圖：作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線； 過直線外一點作這條直線的垂線； 已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和正六邊形；過圓外一點作圓的切線. 在尺規作圖中，學生應了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法［1］.

試題2? 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.

（1）請用尺規作圖的方法在邊AC上確定點D，使得點D到邊BC的距離等于DA的長（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，求證：BC=AB+AD.

第（1）問作法解析：確定點D須滿足兩個條件，即一是點D必須在線段AC上；二是點D到角的兩邊BC和BA的距離相等. 根據“到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”可知，D是∠ABC的平分線與邊AC的交點，所以只需要用尺規作出△ABC的內角∠ABC的平分線即可確定點D（作圖如圖3所示）.

傳統的尺規作圖，都是數學課程標準要求掌握的最基本的作圖，學生只要理解作圖的基本原理，就可以完成作圖. 尺規作圖一般要求學生作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示.

僅利用無刻度直尺作圖

僅用無刻度直尺作圖，是近幾年中考作圖題的創新類試題，這類試題能有效地引發學生積極思考，引導學生利用觀察、猜測、推理、直觀想象等數學學習方法分析問題并積極地解決問題，有助于學生數學核心素養的形成.

試題3? 如圖4所示，點D，E分別是△ABC中AB，AC邊的中點，請僅用無刻度直尺按下列要求畫圖.

（1）在BC邊上畫出中點F；

作法解析：（1）因為三角形的三條中線交于一點，已知了兩個中點，第三個中點也就知道了. 連接CD，BE相交于點O，作射線AO交BC于點F. 點F就是BC邊的中點. （2）所求的點G是BF的中點，在△ABF中，已知D是AB的中點，要找到邊BF的中點，必須先確定邊AF的中點. 在△ABC中，因為D，E分別是AB，AC的中點，所以DE是△ABC的中位線，即DE∥BC，根據平行線等分線段定理，可以確定線段AF的中點，再根據（1）的方法，點G即可確定.（作圖如圖5所示）

此作圖題涉及的知識點有三角形的重心、三角形的中位線和平行線等分線段定理等.

圖形與幾何的作圖題，是學生用數學語言表達實際問題情境中簡單的數量關系與空間形式的重要方式，學生只有在充分理解、掌握相關知識的基礎上，才能運用數學語言（幾何作圖）準確地表達出空間形式和數量關系. 數學語言的簡潔美，能使學生逐步養成用數學語言（圖形語言和符號語言）表達與交流的習慣.

利用網格格點作圖

利用“網格+無刻度的直尺”完成作圖，成為數學中考作圖題的“新貴”. 這類試題涉及的知識點繁多，綜合性較強，能夠很好地考查學生運用所學知識解決實際問題的能力.

試題4? 如圖6所示，在每個小正方形的邊長均為1的網格中，圓上的點A，B，C及∠DPF一邊上的點E，F均在格點上.

（1）線段EF的長等于______；

（2）若點M，N分別在射線PD，PF上，滿足∠MBN =90°，且BM = BN，請用無刻度的直尺，在網格中畫出點M，N，并簡要說明點M，N的位置是如何找到的（不要求證明）.

第（2）問作法解析：如圖7所示，因為格點A，B，C都在圓上，所以2×3的矩形第四個頂點也在圓上，設這個點為G，連接AC，BG相交于點O，則點O為已知圓的圓心. 以線段EF為一邊作正方形EHBF，EH交PD于點M，連接BM交☉O于點R，連接RO并延長，交☉O于點L，連接BL并延長，交PF于點N. 因為四邊形EHBF是正方形，所以BH=BF，且∠HBF=90°，又因為RL是☉O的直徑，所以∠MBN=90°，所以∠HBM=∠FBN. 易得△HBM≌△FBN，所以BM=BN.

本題涉及的知識有：90°的圓周角所對的弦是直徑、正方形的判定和性質、全等三角形的判定等. 在這里，利用好線段EF是解決問題的關鍵，這也是本題第（1）問求線段EF長度的原因吧.

數學學習，不單單是知識的積累，更重要的是要通過具體數學情境中的基本數量關系和空間形式，能夠直觀地理解所學數學知識及其現實背景，能夠運用所學數學知識表達事物之間的聯系與規律，從而培養想象力和創新意識.

在坐標系中利用平移、旋轉或軸對稱作圖

七至九年級的“圖形與幾何”領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個學習主題. 而利用網格或平面直角坐標系作圖，是用代數的方法來研究圖形的軸對稱、旋轉和平移變化規律，其能在用幾何直觀理解圖形基本事實的基礎上，進一步理解和掌握圖形的性質和定理.

試題5? 如圖8所示，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的頂點均為格點（網格線的交點）.

（1）將△ABC先向上平移6個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到△ABC，請畫出△ABC﹔

（2）以邊AC的中點O為旋轉中心，將△ABC按逆時針方向旋轉180°，得到△ABC，請畫出△ABC.

作法解析：（1）根據平移的方式確定點A，B，C的位置，再順次連接即可得到△ABC；

（2）根據旋轉可確定點A2，B2，C2的位置，再順次連接即可得到△ABC.

本題考查作圖——旋轉變換與平移變換，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

拓展延伸

試題6? 如圖9所示，在菱形ABCD中，CE⊥AB，∠B=60°.

（1）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

①求作菱形ABCD中BC邊上的高AF；

②求作AD的中點G.

（2）在（1）的條件下，連接EG，設AF與CE交于點H，若FH=1，求EG的長.

第（1）問作法解析：①連接AC，BD，相交于點O，設BD與CE相交于點H，連接AH并延長，交BC于點F，AF就是BC邊上的高. 因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，AB=AC. 又因為∠ABC=60° ，所以△ABC是等邊三角形. 因為BD⊥AC，所以∠HBE=30° . 因為CE⊥AB，∠ABC=60°，所以∠HCF=30°. 所以HB=HC. 又因為AB=AC，所以AF⊥BC（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上）.

②連接FO并延長，交AD于點G，G就是AD的中點.

給定的作圖工具越少，作圖的難度越大. 本題雖然只限定用無刻度的直尺完成作圖，包含的信息量不多，但考查的知識點非常多，主要有菱形的性質、等腰（等邊）三角形的性質、線段垂直平分線的判定、三角形的中位線以及平行線分線段成比例，需要較強的綜合能力.

作圖題同圖形的性質與判定有著緊密的聯系，不同的作圖題，其“道理”可能不盡相同，考查的內容和方法也不相同，這就需要學生有較強的空間觀念、幾何直觀、數學思維能力和動手操作能力. 作圖題在落實課程標準要求的基礎上很好地考查了學生的數學核心素養，成為中考數學的必考題型. 作圖時，學生需想象通過尺規作圖操作后所形成的平面圖形的形狀，進一步理解尺規作圖的基本原理、所涉及的知識點和所用到的作圖方法，從而發展動手操作能力、空間觀念和空間想象力，以達到培養數學核心素養的目的.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.