逆向思維，探尋解法

季學平

［摘? 要］ 逆向思維，就是反方向思考，與正向思維相反的思維方式. 逆向思維的培養，可以豐富學生的思維模式，拓寬解題途徑，提升解題能力. 在數學教學中，培養學生的逆向思維，也是提高學生數學素養的一個重要方面.

［關鍵詞］ 初中數學；逆向思維；解題策略

初中數學學到九年級，已從直線型幾何圖形拓展到曲線型幾何圖形. 隨著所學幾何圖形的不斷增多，所學的與幾何圖形相關的知識點也逐步增多，幾何綜合題的難度也逐漸提升. 雖然學生對于幾何綜合題也積累了一定的解題經驗和解題技巧，但還不夠全面，仍需在教與學中進一步拓寬解題途徑，提升解題能力.

多數學生做幾何綜合題時都習慣從問題的正面入手，將教師課堂上講過的知識應用到其中，這種解題方式很容易固化學生的思維，會阻礙學生創新思維能力的發展，也會影響學生的臨場發揮，不理想的成績甚至會影響學生學習的積極性和信心. 筆者在九年級上學期的期中練習時遇到了一道圓的綜合題，學生的解答情況非常不理想，問題出在哪里？在隨后的解析教學中，筆者找到了原因.

原題重現

試題 已知AB是☉O的直徑.

（1）如圖1所示，C，D兩點均在☉O上，且BC=BD，CD=AD，求證：∠ADC=2∠BDC.

（2）如圖2所示，點C在☉O上. 若點D是平面內任意一點，且滿足AD=CD，∠ADC=2∠BDC.

①利用直尺和圓規在圖2中作出所有滿足條件的點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；

②若AB=4，BC的長度為m（0<m<4），點D的個數隨著m值的變化而變化，直接寫出點D的個數及對應的m的取值范圍.

學生困惑

在以往的教學中，數學綜合題已有一定的訓練，學生已經初步積累了一些解題經驗. 綜合題的第（1）題難度一般較低，學生有能力解決，同時建立基礎模型為后續問題的解決提供解題思路或方法參考，從而能拾級而上.

多數學生能想到不同方法完成第（1）題的證明，但很快發現，第（1）題的解題思路無法與后續問題關聯起來，不能為后續問題提供任何幫助，更沒有以往拾級而上的輕松感受，從而讓多數學生困惑不已. 在解析教學中，筆者讓學生充分發言，各自發表了解決第（1）題的不同解法，并逐一詳細板書.

首先由生1提出最基本的解法：

如圖3所示，連接OC，OD，AC后，先由BC=BD，OC=OD得AB垂直平分CD，進而得AD=AC，再結合AD=CD

當生1的解法完整板書后，得到了其他學生的肯定，同時也有學生提出這種解法的輔助線太多了，其實只需要作兩條，故有了生2的解法：

生2的解法利用了圖形中三角形的特殊性，求解了相關角的特殊值，當這種解法完整板書后，又有學生提出了還可以簡化.

生3提出只需要作一條輔助線，具體解法如下：

如圖5所示，連接AC，由BD=BC得∠BCD=∠BDC；由AB為☉O的直徑，可得∠ACB=90°，進而可得∠ACD=90°-∠BCD；由AD=CD得∠CAD=∠ACD，進而可得∠ADC=180°-2∠ACD. 于是不難得出∠ADC=2∠BCD. 又因∠BCD=∠BDC，故可證∠ADC=2∠BDC.

在前三種解法的交流中，學生的思維全面打開，在生3的思路基礎上，很快就有了生4的解法：

綜合4名學生的解法不難看出，學生對綜合題的解決沒有整體性思考，沒有全局觀，往往只對題目所給的基礎模型進行簡單思考，不與后續問題綜合考慮，輕易答題，或因基礎題（即第（1）題）的解決方法眾多，而沒有找到真正與后續問題有關的解題模型，無法為后續問題提供有效的支持，從而面對后續問題束手無策.

問題解決

在肯定幾名學生的解題思路后，筆者帶領學生分析這幾種解法能否為下面的問題提供幫助，結果發現這幾種解法都無法為下面的作圖提供幫助. 故對于綜合題來說，基礎問題的確可以有多種解決方法，但哪一種方法才能為后續問題提供方法指導才是解題的重點，因為，解決綜合題時，首先要通讀整個大題，把幾個問題全部了解清楚. 有了基礎問題的解決思路后，不應急于動手書寫，而應適當逆向思考，從后續問題逆向對基礎問題進行深入探究，思考后續問題與基礎問題的關系，挖掘前后問題之間的共性，分析其中的關聯，建立有效的基礎問題模型，這樣才能使后續問題變得簡單.

實際教學時，筆者引導學生分析第（2）題，由“AB是☉O的直徑”“點C在☉O上. 若點D是平面內任意一點，且滿足AD=CD，∠ADC=2∠BDC”“尺規作圖求點D”可知，圖1完全滿足作圖要求，是眾多作圖結果中的一種，此時點D恰好在圓周上，就這種特殊情況做進一步分析，有如下結果：

如圖7所示，AB是☉O的直徑，點C在☉O上，因此，連接AC后，可得∠ACB=90°，即AC⊥BC；由DA=DC，OA=OC，可得OD所在的直線是AC的垂直平分線，DG⊥AC，從而可得DG∥BC. 進而可得∠2=∠3，同時，根據等腰三角形的三線合一性質，可得∠ADC=2∠3，由此通過等量代換得到∠ADC=2∠BDC.

結合基礎模型，就不難找到第（1）題的解題策略和第（2）題的作圖思路. 分析完成后，學生們很快就給出了兩個小題的解答.

（1）如圖7所示，

連接AC，OC，連接DO并延長交AC于點G.

因為OA=OC，DA=DC，

所以DG⊥AC，AG=CG.

所以∠ADC=2∠3.

因為AB是☉O的直徑，

所以∠ACB=90°.

所以BC⊥AC.

所以DG∥BC.

所以∠2=∠3.

因為BD=BC，

所以∠1=∠2.

所以∠1=∠3.

所以∠ADC=2∠1，

即∠ADC=2∠BDC.

（2）①作圖思路：由DA=DC可得點D一定在AC的垂直平分線上，所以先連接AC，作其垂直平分線. 由AB是☉O的直徑，且無論C在何處，都有DO∥BC，故再需BD=BC，所以再以點B為圓心、BC的長為半徑作圓，與AC的垂直平分線的交點即為點D，如圖8所示.

教學反思

當學生完成第（1）題和第（2）①題的作圖后，筆者又帶領學生回顧此題前后問題之間的關聯，讓學生暢言本題帶給大家的感受和總結的經驗. 學生的總結如下：

通過這道題的學習，我們有了新的解題體會. 綜合題多個小題之間一定存在解法策略上的聯系，這一點在以前的學習中我們就有體會. 以前遇到綜合題，我們基本上會正向思考，拾級而上，第（1）題的解題策略清晰，解法不多樣，且難度不大，這就給第（2）題的解題指明了方向，能為后續問題提供準確的解題思路，只是考點不同，難度增加，解題過程復雜些. 圓的知識點較多，與其他知識結合后，同一問題的解題策略不再單一，方法多樣，可謂“條條大路通羅馬”. 眾多方法并不能都為后續問題提供解題方向或解題策略，因此，解決綜合題時，我們更應該通讀整個問題，必要時從后續問題中尋找與基礎問題之間的關系，挖掘前后問題之間存在的共性特征，適當逆向挖掘綜合題的解題方法，這樣會有意想不到的收獲.

在此題的解析教學中，筆者也和學生一同成長. 在解題設計時，筆者就要考慮引導學生從哪些角度去思考、分析問題. 在實際教學中，筆者則堅持以學生為中心，解析問題的過程中引導學生學會正面遇阻而不得時，嘗試逆向思維，從后向前，挖掘前后問題之間的聯系，嘗試反向倒推，進而尋找解題方式，建立基礎模型. 在數學教學中培養學生的逆向思維也是提高學生數學思維能力的一種重要方法，且可以使一些難以解決的問題迎刃而解，這對于提高學生靈活運用數學知識分析問題、解決問題有很大的幫助.