小組合作“畫數學”，提升群體“學習力”

孫靜嫻

［摘? 要］ 在小學數學教學中，教師要充分發揮“畫數學”的育人功能，彰顯“畫數學”的育人價值。教師不僅要引導學生個體“畫數學”，更要引導學生群體“畫數學”，讓學生合作“畫數學”。通過合作“畫數學”，提升學生群體的“學習力”。“畫數學”應當成為學生“生命·實踐”活動的確證與表征，成為學生數學智慧、數學生命的一種外在性的表達，讓學生抵達一種妙不可言的學習境界。

［關鍵詞］ 小學數學；合作“畫數學”；群體“學習力”

在小學數學課堂上，“畫數學”是學生數學學習的一種重要方式。“畫數學”一方面是用來描述“數學本體性知識、信息”的一個過程；另一方面也是學生用來記錄自己思維、認知、探究的一個過程。“畫數學”為學生數學思考、探究提供了一種證據，同時也是學生數學學習的一種載體、媒介、工具等。教師在數學教學中要充分引導學生“畫數學”，讓“畫數學”成為學生生命實踐活動的確證與表征，成為學生數學智慧、數學生命的一種外在性的表達，進而很好地判斷學生的數學學習樣態。從這個層面上說，“畫數學”是學生數學學習的催化劑、潤滑劑，也是學生數學學習的“風向標”，還是學生數學學習的“晴雨表”。

在“畫數學”的教學實踐中，筆者立足學生群體，從小組合作的視角來探討“畫數學”的教學實踐。

一、小組對話——用“畫數學”建構概念

學生數學學習的過程就是數學知識的自主建構的過程。學生對數學知識的自主建構不僅是“個體性建構”，更是“群體性建構”。在數學教學中教師要引導學生在自主思考的基礎上，引導學生與學生之間相互對話、協商與交流。這種對話、協商與交流不僅包括組內成員之間的對話、協商與交流，更包括“組與組”之間的對話、協商與交流。在對話協商與交流的過程中學生個體之間往往存在著數學認知的信息差，因而需要借助“畫數學”的方式來促進同伴對相關數學知識的思考、探索、理解與建構。因此，可以說“畫數學”就是學生與學生之間進行數學對話、交流與協商的一種方式。

在小組合作“畫數學”的過程中，一方面可以讓學生的數學思路進一步明晰，另一方面能讓學生模糊的數學認知得以清晰。小組合作“畫數學”不同于學生“個體畫數學”，“合作畫數學”往往需要將“數學圖”“數學表”“數學畫”等放置于小組成員的“公眾眼光”之下，并接受“公眾眼光”的審視。比如教學“求兩數相差多少的實際問題”時，學生遇到這樣一道題目：“小明和小華一起植樹，他們一共有30棵樹苗。如果小明給小華6棵樹苗，他們的樹苗就相等。原來小明和小華各有多少棵樹苗？”這樣的問題，讓部分學生感覺無從下手。為此，學生在小組內進行了深度研討。“學優生”主動拿起手中的筆畫圖，有的學生先畫了兩條線段表示一共有30棵樹苗，然后將其中的一條線段擦去一部分表示為給小華的6棵樹苗，認為這樣就表示兩個人的樹苗相等。對此，部分學生提出異議，認為應當“將一條線段擦去一部分的同時要將另一條線段接上相同的長度，然后兩條線段才相等，表示兩個人擁有的樹苗數相等”。在群體協商之后，有的學生對“畫圖”提出了這樣的意見和建議：先畫出兩條相等的線段表示后來兩人擁有的樹苗相等，然后將一根線段延長“一些”，將另一根線段縮短相同的“一些”。如此，學生通過合作“畫數學”有效地分析題目中的數量關系，建構出了“相差數”和“移動數”兩個核心概念。

小組對話是小組合作“畫數學”的一種有益補充。在研究、探討相關數學知識時，學生不可能一蹴而就，因而總會在“畫數學”中暴露這樣那樣的錯誤或者不到位的地方，這就需要學生經過彼此研討、協商。在小組對話時，每一個小組成員都會將自己作為“畫數學”的主人，對“數學圖畫”提出建設性的意見和建議。這樣，通過小組合作畫數學，學生完成了對數學知識的自主性、合作性的建構。

二、小組協作——用“畫數學”解決問題

學生的數學學習不僅是“群體對話”的過程，也是“群體協作”的過程。在這個過程中，學生彼此之間應當相互激勵，并鼓勵每一個小組成員的實踐創新，而不能讓小組成員簡單地、機械地模仿，不能讓小組成員照搬照抄。否則，小組協作就沒有學習的活力。當一個小組中的“成員”都能個性化地組織、探索、建構數學新知時，整個小組的學習就會呈現出一種勃勃生機的學習樣態。實踐證明，“畫數學”作為一種數學學習手段，受到了許多學生的支持、歡迎。

比如教學“解決問題的策略——畫圖”時，學生遇到了這樣的題組：

問題1：一個長方形菜地長40米、寬25米，如果讓長或寬分別增長6米，那么長方形菜地的面積增加多少平方米？

問題2：一個長方形菜地，如果讓長和寬分別增長6米，面積分別增加150平方米、240平方米，原來長方形菜地的長、寬分別是多少米？原來長方形菜地的面積是多少平方米？

問題3：一個長方形菜地長40米、寬25米，如果讓長和寬同時增長6米，那么長方形菜地的面積增加多少平方米？

問題4：一個長方形菜地，如果讓長和寬同時增長6米，面積增加150平方米，原來長方形菜地的周長是多少米？

這樣的問題題組“倒逼”學生畫圖分析，因為學生的具體、直觀、形象的思維難以抽象性地解決問題。為此，學生必須積極尋找有效解決問題的策略。在思考、探究的過程中，有的學生認為應該先畫圖將題目中的意思表征出來，然后根據圖聯系題意進行分析；有的學生認為畫圖的時候要注意比較等。在畫圖的過程中，小組成員自覺地進行審視，尤其對數據的標注提出相關的意見和建議。在畫圖的過程中，小組成員還自覺地對同伴的圖進行修改、完善。借助畫圖，學生的認知障礙、認知困惑不攻自破，問題迎刃而解。

在小組合作“畫數學”的過程中，筆者有意識地將一些小組的“數學圖”呈現出來，作為典型并示范性地對“數學圖”進行評點，讓學生在一次次的感知、領悟中慢慢地受到相互影響、相互啟發，從中獲得“畫數學”的思想方法，讓學生更加積極地專注課堂學習。通過“畫數學”，學生的認知障礙、認知困惑、認知疑點、盲點等都在畫圖的過程中被有效消除。

三、小組協商——用“畫數學”優化思路

在小學數學學科教學中引導學生“畫數學”通常有兩種方式：一是要求學生畫出精準的示意圖，二是要求學生畫出能夠表征題意、有助于分析問題的“草圖”。相較而言，學生更喜歡“草圖”。在引導學生畫“草圖”的過程中，教師要讓學生認識到“什么要素是可以省略的，什么要素是一定需要標注的”。因此，畫“草圖”常常需要小組協商。通常而言，畫“草圖”旨在表達學生思考的過程、分析問題的方法等，而非追求美感。因此，教師應要求學生畫“草圖”時要直觀易懂、標記簡單，要注重畫圖的過程和及時反饋。

在“畫數學”的過程中，教師要指導學生應用相關的方法來畫圖。比如，可以讓學生用簡單的符號“箭頭”“AB”等來表示方向、事物等，從而增強學生對“數學圖”的敏感性；可以引導學生用“表格”“方框”等來充實圖、設計圖，尤其是可以引導學生畫出相關的“韋恩圖”“箭頭圖”“氣泡圖”“樹形圖”等，這些圖都有著各自的功能和作用。在畫圖的過程中教師要引導學生進行小組協商，讓學生探討“畫怎樣的圖”“用怎樣的要素來表達”比較科學、合理等。比如，在教學相關的種屬概念時，要引導學生畫出“韋恩圖”；在教學“解決問題的策略——倒推”時，要引導學生畫出“箭頭圖”；在引導學生學習相關的數學概念時，要引導學生畫出“氣泡圖”去把握數學概念的本質；在梳理、總結相關的概念之間的關系時，要引導學生畫出相關的“樹形圖”等。比如，教學“分數乘法應用題”時，筆者呈現了這樣的題組：

法進行畫圖。通過畫出對比性的“線段圖”，學生能將相關的問題進行對比，同時能結合相關的條件進行綜合，從而有助于數學問題的解決。

學生的數學學習是動態的，但可以用“繪圖”這種靜態的方式來表達、呈現，從而助推學生的思考、探索。“畫圖”不是簡單的一種信手拈來的“小技巧”，而是一種科學、一種藝術。“畫圖”降低了學生數學學習的難度，減緩了學生數學學習的坡度，豐厚了學生數學學習的深度，增強了學生數學學習的效度。借助“畫圖”不僅能有效地激發學生數學學習興趣，調動學生數學學習積極性，而且能有效開掘學生數學學習的創造性。

四、小組評價——用“畫數學”促進反饋

“畫數學”不僅有助于學生對數學知識的分析，更有助于反饋學生數學學習樣態。在小學數學教學中，教師要充分應用學生的“畫圖”過程，去捕捉學生的思維、認知狀態，去揣摩學生的具體學情。教師尤其要引導學生對所畫的“數學圖”“數學表”等進行交流反饋評價，通過評價促進學生數學思維、認知等不斷進階。教師要通過“數學畫”對學生的數學學習進行反饋評價，從而充分發揮“數學畫”的育人功能，彰顯“數學畫”的育人價值。

比如教學“分數的意義”時，筆者發現有的學生雖然能夠熟練地說出分數的意義，但他們在遇到相關問題時卻一籌莫展。筆者認為，學生對一個分數概念的理解不應僅停留在識記的層面上，而應當走向一種應用。從某種意義上說，學生的數學學習應該是一種“行為的學習”。在教學中，筆者這樣引導學生“畫分數”，并且對“畫的分數”展開評價：

在問題的導引下，學生以小組為單位，分別畫出了兩個大小不同的圓，表示甲班人數和乙班人數。其中，有的學生將表示甲班人數和乙班人數的圖形畫得一樣大，有的學生將表示甲班人數的圓畫得大，這些都在小組評價時得以糾正。在合作交流的過程中，學生對各自的圖進行評價，并且得出了一致性的結論：即當乙班人數大于甲班人數時，這個結論不成立。據此，有的學生用“夸張的筆法”將表示乙班人數的圓畫得非常大，將表示甲班人數的圓畫得非常小。這樣，在小組評價的過程中，學生用畫表達了對數學的一種認知、理解。

在小學數學教學中，教師要充分發揮“畫數學”的育人功能，彰顯“畫數學”的育人價值。通過“畫數學”，深化學生對知識的理解和優化學習的體驗。“畫數學”不僅是一種學習方式，更是一種有效的學習策略、學習路徑，“畫數學”給了學生數學學習的一個“形象支撐”。在“畫數學”的過程中，學生彼此之間展開對話、交流，“畫數學”抵達一種妙不可言的學習境界。