含絕對值不等式問題的處理策略初探

李 鼎

(甘肅省酒泉市瓜州縣第一中學)

絕對值不等式是?不等式選講?中的重要內容,與其有關的考題主要涉及解含絕對值的不等式、含絕對值的不等式恒成立、能成立問題以及絕對值不等式的證明等.解題的關鍵是“去絕對值”.常用的策略主要有利用絕對值的幾何意義、零點分段討論法、數形結合法、絕對值三角不等式等,下面就這些策略的應用舉例分析.

1 利用絕對值的幾何意義

|a－b|表示數軸上的點a與點b之間的距離,|a＋b|表示數軸上的點a與點－b之間的距離,這就是絕對值的幾何意義.同理,|a|可視為數軸上的點a到原點的距離.

例1 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5 的解集為_____.

|x－1|表示數軸上的點x到點1 的距離,|x＋2|表示數軸上的點x到點－2的距離.求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集,即在數軸上尋找到點1,－2的距離之和大于或等于5的點的集合.

在如圖1所示的數軸上標出點1,－2的位置,易知這兩個點之間的距離是3,我們先找出到這兩個點的距離之和等于5的點,即－3和2.因此,不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集為(－∞,－3]∪[2,＋∞).

圖1

變式 不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6 的解集為_____.

2 利用零點分段討論法

在處理含絕對值的不等式時,先求出每個絕對值均為零時變量的值,即零點,根據零點將變量的取值范圍分成多個區間,在每個區間內討論各絕對值的正負情況,去掉絕對值.

例2 不等式|3x＋1|－2|x－1|≥1 的解集為______.

3 利用數形結合法

與絕對值有關的不等式問題,往往可以通過構造函數,利用函數圖像之間的位置關系來判斷滿足不等式成立的條件.

例3 若關于實數x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1的解集為空集,則實數a的取值范圍是_________.

設函數f(x)＝|x－1|＋|x－3|,不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1 的解集為空集,即函數f(x)的最小值大于a2－2a－1.

畫出函數f(x)的圖像,如圖3所示,其最小值為2,所以a2－2a－1＜2,解得－1＜a＜3,即實數a的取值范圍是(－1,3).

圖3

圖4

變式 已知f(x)＝|x－2|,g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.若f(x＋a)≥g(x)恒成立,則實數a的取值范圍是________.

4 利用絕對值三角不等式

絕對值三角不等式:|a|＋|b|≥|a＋b|,其中a,b為實數,等號成立的條件是ab≥0.同理,|a|＋|b|≥|a－b|,等號成立的條件是ab≤0.

例4 設函數f(x)＝|x＋4|,若f(2x＋a)＋f(2x－a)≥4恒成立,則實數a的值為_________.

由已知得f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|,利用絕對值三角不等式得|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|(2x＋a＋4)－(2x－a＋4)|＝|2a|,故|2a|＝4,解得a＝±2.

針對某類含絕對值不等式的問題,有些方法可以通用,但有些方法簡捷,有些方法煩瑣,同學們只有針對題目條件擇優而用,才能快速、準確解題.

(本文系甘肅省酒泉市教育科學“十四五”規劃2022年酒泉市教育科研課題“基于高中數學核心素養下直觀想象能力的培養”的研究成果(課題編號:JQ[2022]GHB228).)

(完)