利用導數及其應用解決參數的取值范圍問題

黃珍珍

(江西省贛州市信豐縣第一中學)

不等式恒成立背景下的參數的取值范圍問題,常以壓軸題的形式出現在高考試卷中,此類問題的處理方法一般是直接構造函數或參變量分離,但是學生的解題得分率往往不高.究其原因,一方面,有的題目如果直接構造函數求導,導函數中會存在ex或xlnx等超越式,給問題的解決帶來困難;另一方面,使用參變量分離后的導函數過于復雜,不好處理,或者會遇到的極限問題,而在高考數學中直接使用洛必達法則具有扣分風險.其實,處理不等式恒成立背景下的參數取值范圍問題方法較多,本文歸類總結一些常見的技巧和方法.

1 放縮法

大多數導數及其應用問題以一些常見的放縮作為背景來創設,求解的關鍵是熟練掌握并利用一些常見的重要不等式進行合理放縮與變形,如x－1≥lnx,當且僅當x＝1時,等號成立;ex≥x＋1,當且僅當x＝0時,等號成立;ex≥ex,當且僅當x＝1時,等號成立.

例1 若對任意m,n∈R,關于x的不等式mn≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立,則實數a的最大值為_____.

由不等式m－n≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立,分離參數可得不等式a≤(x－m)2－m＋ex－n＋n恒成立.

結合二次函數的圖像與性質、重要不等式結論,可得

解題時根據題設條件合理分離參數,綜合利用二次函數的圖像與性質、重要不等式等相關知識對目標式子放縮處理,進而確定相關參數的取值范圍問題.抓住二次式與指數式的結構特征,合理聯想相應的二次函數的性質以及重要不等式的放縮是處理問題的關鍵所在.

2 先消后求法

在利用導數及其應用解題時,不是看到相應的函數就直接求導,常常需要先對函數關系式進行合理變形,消去參數后再對只含變量x的式子求導,或是對函數關系式進行因式分解等,這樣處理后將大大減化數學運算過程,降低解題難度.

例2 已知函數f(x)＝(x2－x)ex.

(1)求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)若不等式f(x)＞ax對任意實數x＞0恒成立,求a的取值范圍.

(1)y＝ex－e(求解過程略).

(2)不等式f(x)＞ax對任意實數x＞0 恒成立,即(x2－x)ex＞ax對任意實數x＞0恒成立,等價于不等式a＜(x－1)ex對任意實數x＞0恒成立.

令函數g(x)＝(x－1)ex(x＞0),則g′(x)＝xex＞0,故函數g(x)在(0,＋∞)上單調遞增,所以gmin(x)＞g(0)＝－1,則a≤－1,故實數a的取值范圍為(－∞,－1].

在解決一些含參不等式恒成立問題時,常常需要合理地變形與轉化.對不等式進行恒等變形與轉化,有利于后續構建函數,從而用函數的性質解題.

3 端點效應法

在解決不等式恒成立背景下的參數取值范圍問題時,利用函數取端點時的特殊值可以縮小參數的取值范圍,即若不等式f(x)≥0在[a,＋∞)上恒成立,且f(a)＝0或f′(a)＝0,則f′(a)≥0.解題時,我們可以先寫出使不等式無法恒成立的反面條件,這樣能夠排除參數的不合理范圍,但要注意的是縮小后的參數的取值范圍需要進一步分析與討論.

例3 若關于x的不等式xlnx－alnx≤axa2(a∈R)對 于 任 意 實 數x∈[1,e]恒 成 立,則a＝_____.

依題意,對于任意實數x∈[1,e],對應不等式xlnx－alnx≤ax－a2(a∈R)恒成立,則當x＝1 時,原不等式即為0≤a－a2,解得0≤a≤1.

當x＝e時,原不等式即為e－a≤ae－a2,變形整理有(a－1)(a－e)≤0,解得1≤a≤e.

綜上,a＝1.

在解決一些含參不等式恒成立問題時,可以借助一般到特殊的數學思想,若不等式在某確定的區間上恒成立,則該區間上的某些特殊點(這里包括端點)也滿足該不等式,這就是端點效應法的本質.

4 必要性探路法

在解決不等式恒成立背景下的參數取值范圍問題時,經常借助“必要性探路”,即先確定含參不等式恒成立時參數的取值范圍,進而結合邏輯推理進行分析.特別地,在解答一些小題(選擇題或填空題)中經常采用這種方法,當然這種方法也適用于解答題,但要注意解答與證明過程的嚴謹性.

(1)若a＝2,求f(x)的極值;

(2)若f(x)≥2a(1＋lna)恒成立,求實數a的取值范圍.

(1)函數f(x)在x＝1處取得極小值1,無極大值(求解過程略).

(2)由于f(x)≥2a(1＋lna),則有

在解決此類問題時,往往可以考慮利用必要性探路法尋覓出對應參數的取值范圍,這樣可以節約時間.在利用必要性探路法處理問題時,經常借助一些不等式的結論來進行放縮處理.

利用導數及其應用求解不等式恒成立背景下的參數取值范圍問題,有時可以借助以上技巧方法中的某一個來分析與處理,有時需綜合采用多種方法.在解題過程中,學生需要具體問題具體分析,靈活選擇合適的方法,從而提高自身數學思維能力,充分讓邏輯推理這一數學核心素養在心中生根發芽.

鏈接練習

1.若對于任意的x1,x2∈[1,e],均有則m的取值范圍是_________.

2.已知x≥y≥0,且x＋y＋x－y≤a(x＋y),則實數a的取值范圍是_________.

3.對于任意的x∈[1,＋∞),若關于x的不等式(a∈R)恒成立,則實數a的取值范圍是________.

鏈接練習參考答案

1.[1,＋∞).2.[2,＋∞).3.[1,＋∞).

(完)