例析數列不等式證明常用策略

丁 軍

(山東省棗莊市第十六中學)

數列不等式證明是高考經常出現的一類問題,這類問題所涉及的知識點較多,對學生知識的靈活運用有一定的要求.為幫助學生更加系統、全面地了解相關問題及解題策略,本文結合實際問題詳細進行介紹,以提升學生數學學科核心素養.

1 函數法

數列作為一類特殊的函數,具有函數相應的性質.因此,在解答數列不等式問題時,學生可以借助函數法進行解答,通過構造函數利用函數的單調性、極值等證明不等式.在實際的解題中,函數法通常運用于變量與常數之間的比較,因此在解題中需要將不等式轉化為僅一側含變量,并構造函數,利用函數的性質求其最值,最后將最值與常數項進行比較.

本題先對數列不等式進行變形,再構造函數利用函數的單調性證明數列不等式.

2 放縮法

放縮法是證明數列不等式過程中常用的方法,通過將不等式的一側進行適當放大或縮小,從而證明原不等式成立.在實際運用中,先將要證明的不等式的一側進行適當放大或縮小,再將其與另一側進行比較,最后根據傳遞性確定不等式成立.

例2 數列{an}的前n項和為Sn,滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋6(n∈N?),且a1,a2＋5,a3成 等 差數列.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)證明:對于一切正整數n,有

本題結合數列不等式特點,將其進行合理變形,而后借助不等式常見性質進行放縮.

3 歸納法

利用歸納法在解答數列不等式時,要先對問題進行分析,結合已知條件證明當n＝1時,不等式成立;而后假設當n＝k時,不等式成立,進一步驗證當n＝k＋1 時,不等式成立;最后進行歸納,證明不等式成立.

在運用歸納法進行解題時,需要學生全面理解掌握其解題步驟與要求,從而才能保證答案的準確性.

4 比較法

比較法是證明不等式問題時一種比較直接的方法,即對不等式進行整理、轉化,而后將不等式兩側進行作差、作商,通過差、商與0,1之間關系的比較,從而證明不等式.

例4 已知等差數列{an}前n項和為Sn,a1＝1,且S1,S2,S3＋3成等比數列.

(1)求{an}的通項公式;

(2)若{an}單調遞增,證明:

巧妙地運用作差、作商的方法有時可以較快地對數列不等式進行證明,但有時需要將其與放縮法進行結合.

綜上,數列不等式證明問題有多種解法,在實際的運用中,學生應當結合題目信息,靈活選擇、運用解題策略,從而提升解題效率.

(完)