例析證明函數(shù)不等式問題的常用方法

阿麗米熱艾尼

(新疆實(shí)驗(yàn)中學(xué))

函數(shù)不等式恒成立問題,是考試中較為常見的一類問題,同時(shí)也是學(xué)生解答過程中出現(xiàn)問題較多的一類問題.這類問題往往涉及函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)函數(shù)等諸多知識(shí)點(diǎn),題目形式多變,較為復(fù)雜,具有較強(qiáng)的綜合性.學(xué)生在面對(duì)這類問題時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)無法快速找到解題思路、計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤、邏輯錯(cuò)誤等多種問題.為幫助學(xué)生建立起函數(shù)不等式問題的解題思維,本文結(jié)合實(shí)際問題,對(duì)常用的解題策略進(jìn)行分析,以期促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升.

1 構(gòu)造函數(shù)法

在解答函數(shù)不等式恒成立問題中,構(gòu)造函數(shù)是較為常用的解題方法,同時(shí)也是其他解題方法的基礎(chǔ).在實(shí)際解題過程中,可以先對(duì)不等式兩側(cè)進(jìn)行整理,通過移項(xiàng)、變形構(gòu)造合適的函數(shù),將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題,進(jìn)而通過研究函數(shù)的性質(zhì)證明不等式.

例1 (2023年新高考Ⅰ卷19)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)a＞0時(shí)

(1)f(x)的定義域?yàn)镽,且f′(x)＝aex－1.當(dāng)a≤0時(shí),由于ex＞0,則aex≤0,故f′(x)＝aex－1＜0恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞減.

當(dāng)a＞0 時(shí),令f′(x)＝aex－1＝0,解得x＝－lna,當(dāng)x＜－lna時(shí),f′(x)＜0,則f(x)在(－∞,－lna)上單調(diào)遞減;當(dāng)x＞－lna時(shí),f′(x)＞0,則f(x)在(－lna,＋∞)上單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(－∞,－lna)上單調(diào)遞減,在(－lna,＋∞)上單調(diào)遞增.

(2)令h(x)＝ex－x－1,則h′(x)＝ex－1,因?yàn)閥＝ex在R上單調(diào)遞增,所以h′(x)＝ex－1在R 上單調(diào)遞增.

又h′(0)＝e0－1＝0,所以當(dāng)x＜0時(shí),h′(x)＜0;當(dāng)x＞0時(shí),h′(x)＞0,故h′(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,因此h(x)≥h(0)＝0,則ex≥x＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí),等號(hào)成立.因?yàn)?/p>

在第(1)問中,先對(duì)f(x)＝a(ex＋a)－x進(jìn)行求導(dǎo),而后對(duì)導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝aex－1進(jìn)行分類討論,進(jìn)而得到f(x)的單調(diào)性.第(2)問通過構(gòu)造函數(shù)h(x)＝ex－x－1,證得ex≥x＋1,從而得到f(x)≥x＋lna＋1＋a2－x,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為證明

2 分離參數(shù)法

在證明含參不等式恒成立問題時(shí),可以采用分離參數(shù)法將不等式中的參數(shù)、變量等進(jìn)行分離,使不等式轉(zhuǎn)化為一側(cè)為參數(shù)、另一側(cè)為變量的形式,如a≥f(x),a≤f(x)等,而后通過探究函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最值與參數(shù)的關(guān)系證明不等式.

3 放縮法

在函數(shù)不等式的證明問題中,常常需要學(xué)生結(jié)合題意靈活運(yùn)用各種不等式(如ex≥x＋1,ex≥ex,lnx≤x－1等)對(duì)原不等式的一側(cè)進(jìn)行合理的放大或縮小,而后證明放縮后的不等式成立,進(jìn)而得到原不等式成立.

例3 已知f(x)＝xln(x＋a)＋1(a＜0).

(1)當(dāng)a＝－1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;

(2)求證:f(x)＜ex＋cosx.

在解答本題時(shí),根據(jù)lnx≤x－1,將xlnx＋1放縮為x2－x＋1,進(jìn)而將原問題轉(zhuǎn)化為求證ex－x2＋x－1＋cosx＞0.構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exx2＋x－1(x≥1),通過對(duì)其進(jìn)行二次求導(dǎo),得到g(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,而后確定x在不同取值下ex－x2＋x－1＋cosx＞0 成 立,則 當(dāng)a＜0 時(shí),f(x)＜ex＋cosx成立.

綜上,本文總結(jié)了解答函數(shù)不等式問題常用的三種方法:構(gòu)造函數(shù)法、分離參數(shù)法和放縮法,在實(shí)際解題中,學(xué)生需結(jié)合題目信息,靈活選擇合適的解題方法,以提升解題效率.

(完)