柯西不等式的特例
——方差不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

劉大偉 李勇霞

(1.重慶市江津中學(xué)校 2.重慶市巴蜀科學(xué)城中學(xué)校)

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中,隨機(jī)變量的方差描述的是數(shù)據(jù)的離散程度,它能夠反映數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)與期望之間的關(guān)系,即該變量離其期望值的距離.同時(shí),方差與不等式也有著密不可分的聯(lián)系.本文利用方差公式推導(dǎo)出方差不等式,并將之應(yīng)用于一類函數(shù)最值問(wèn)題的求解過(guò)程中,拓寬了解題思路和方法,最后進(jìn)一步闡述了兩者之間的關(guān)系,提出了方差不等式為柯西不等式的特殊情況這一結(jié)論.方差的定義:

因?yàn)镾2≥0,所 以,當(dāng)x1＝x2＝…＝xn時(shí),等號(hào)成立.

該不等式稱為方差不等式,應(yīng)用方差不等式可以快速求解一類函數(shù)最值問(wèn)題.

1 方差不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1 求函數(shù)y＝x－1＋ 5－x的最大值.

解 由方差不等式可知

例2 求函數(shù)y＝x－1＋ 9－3x的最大值.

解 原函數(shù)可化簡(jiǎn)為

由方差不等式可知

易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)于本例,如果直接利用方差不等式會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題,即

再由其定義域{x|1≤x≤3},求得ymax＝2 3.

該解法錯(cuò)在兩次不等式等號(hào)成立的條件是不同的,所以在運(yùn)用方差不等式解題的過(guò)程中需要注意前提條件為定值.

2 方差不等式的應(yīng)用總結(jié)

結(jié)合上面的兩個(gè)例題,下面給出該類型函數(shù)一般形式的求解定理.

證明 原函數(shù)等價(jià)于

由方差不等式可知即

3 方差不等式的推廣應(yīng)用

若x1＋x2＋…＋xm＝m,則

若x1＋x2＋…＋xm＝a,則

4 方差不等式與柯西不等式的關(guān)系闡述

方差不等式是柯西不等式的特殊情況.

對(duì)于柯西不等式

當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai(k為常數(shù),i＝1,2…,n)時(shí),等號(hào)成立.

由方差不等式得

當(dāng)x1＝x2＝…＝xn時(shí),等號(hào)成立.

在教學(xué)過(guò)程中為培養(yǎng)學(xué)生的化歸和轉(zhuǎn)化能力,鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生用“跨界”知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

(完)