從通性通法的角度談均值不等式的應用

樸今子 付 禹

(吉林省長春市第十一高中)

在運用均值不等式解決有關問題時,經常會強調“一正、二定、三相等”.可從通性通法的角度去理解這句話的含義:在運用均值不等式解決有關問題時,在注意變量為正數的前提下,可以考慮“構造法”,但“如何構造”是關鍵,下面從兩個方面進行說明.

1 側重定值構造

1.1 側重乘積為定值構造

例1 已知x＞1,則函數的最小值為_________.

分析 因為函數表達式中的分式中有分母(x－1),所以在函數表達式中只需構造(x－1),進而可以按以下方式求最小值.

解 因為x＞1,所以x－1＞0,則

答案－1.

答案 4.

例1及三個變式的表達式比較明顯地提供了相同的信息,即構造乘積為定值,變式3構造的難度大一點.若函數表達式的結構中不易發現這種特殊結構(條件隱蔽),那么如何構造呢? 下面一起來看看下面的例題.

分析 觀察現有函數表達式的結構,很難構造乘積為定值的結構,而根據分式的性質將函數表達式化為后就會發現兩個分式的分母之和是常數,進而通過變形可以構造互為倒數的兩個分式

本例及其變式都是利用均值不等式求解的有關問題中比較難的問題,難點在于如何構造,而突破這個難點的關鍵在于注意觀察表達式的結構中隱含的條件.

例3 已知a＞0,b＞0,c＞0,求證:

分析 觀察不等式左邊結構,不難發現每項分式的分子、分母之和都是a＋b＋c,而三項分式的分母之和是a＋b＋c的2倍,由此可以考慮先用均值不等式構造兩個不等式.

解 由均值不等式得

此題有多種證法,從通性通法的角度來看,通過構造乘積為定值的方法去尋找思路顯得比較自然.此例還可以進行如下推廣.

變式 已知xi＞0(i＝1,2,…,n,n∈N),且n≥2,求證

提示 由均值不等式得

1.2 側重和為定值構造

例4 函數y＝x4(1－x2)(0＜x＜1)的最大值為_________.

“構造和為定值”相對于“構造積為定值”要容易很多,主要原因是需要“構造和為定值”的表達式比較單一(乘積結構).本題的變式難度略大,原因是構造時要想到隱含條件“sin2x＋cos2x＝1”.

2 側重取等號角度構造

例5 已知a＞0,b＞0,且滿足a＋b＝1,求證:

在運用均值不等式的過程中,若已知條件和結論中的代數結構是“對稱輪換式”(根據加法和乘法的交換律及結合律,將式子f(x1,x2,…,xn)(n∈N?)中任意元xi與xj(i≠j)交換位置,表達式保持不變),則取等號的條件就是各元相等.

本文從通性通法的角度介紹了均值不等式應用中的兩種構造法,在不等式的證明中通常需要通過放縮轉化后再運用上述方法求解.

(完)