利用不等式求解最值問題的解法探究

田素偉

(上海市泥城中學)

求代數式的最值問題是高中數學中一類非常重要的問題,這類問題通常以不等式、三角函數、數列、向量為載體,考查不等式性質的應用,很多問題還涉及均值不等式.如果選擇恰當的方法,把比較復雜的問題轉化為我們熟悉的較為簡單的問題,會起到事半功倍的效果,下面通過具體例題說明利用不等式求解最值問題的解法探究.

1 均值不等式的說明及舉例

均值不等式(基本不等式):兩個正數的算術平均數大于或等于它們的幾何平均數,即對于任意的正數a,b,有,當且僅當a＝b時,等號成立.

應用均值不等式求解最值的條件有三個.

1)a,b是正數;

2)a＋b或ab是定值;

3)存在滿足條件的a,b使a＝b成立.

這三個條件同時滿足才能使用均值不等式,三個條件缺一不可,即“一正、二定、三相等”.

例1 已知a＞0,b＞0滿足a＋b＝1,則的最小值是_________.

這是一道非常熟悉的題目,利用乘1法即可求解,但是對于比較復雜的題目,如何以例1為模型,通過變換使之轉化為形如例1這樣熟悉的題目呢? 這是我們需要探究的問題.

2 已知條件是含整式的等式,求分式二元變量的最值問題

方法1 已知x＞0,y＞0,設m＝x＋1,n＝2y＋2,則

即m＋n＝5,所以

故原題可化為:已知m＞1,n＞2滿足m＋n＝5,求的最小值.又

經過換元把原題轉化為:已知正數m＞1,n＞2,m＋n＝5,求的最小值這樣比較熟悉的題目了,使題目簡化,使解題過程簡單明了.需要注意觀察已知條件等式和所求的代數式中變量的系數再進行換元.

方法2 由x＋2y＝2,可知

方法2 是利用權方和不等式求解,簡單明了,填空題或選擇題可以直接應用權方和不等式求解,權方和不等式作為柯西不等式的分式形式,在求二元變量的最值時有非常廣泛的應用.權方和不等式:設a＞0,b＞0,x＞0,y＞0,則,當且僅當時,等號成立.利用權方和不等式求解最值的一般步驟如下.

第一步:先看分式的分母之和是不是定值,分子之和是不是定值,若不是定值,能否通過變形后使之變成定值;

第二步:使用權方和不等式變形,使分子的指數比分母大1即可;

第三步:檢驗等號成立的條件.

3 已知條件是含分式的等式,求整式二元變量的最值問題

方法2利用權方和不等式求解,簡單明了,能起到事半功倍的效果.下面的各個題目均可利用權方和不等式求解.

4 均值不等式在求函數最小值時的應用

本題變形后用換元法把比較復雜的不等式轉化為熟悉的形式,再利用均值不等式求解,簡潔明了.

5 與三角函數有關的問題求最值

6 直接利用均值不等式求最值

通過觀察已知條件,發現9x2＋y2＋xy＝1中含有9x2＋y2,且結論中含有代數式3x＋y,因此也可以利用完全平方公式求解,即9x2＋y2＋6xy＝(3x＋y)2,再利用均值不等式求解.

7 構造向量求最值

鏈接練習

鏈接練習參考答案

(完)