從函數(shù)觀點(diǎn)看平面向量的數(shù)量積

劉長(zhǎng)根 邱 暢

(中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校)

與平面向量數(shù)量積有關(guān)的取值范圍問(wèn)題,是代數(shù)運(yùn)算與幾何分析的有機(jī)融合,是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的重點(diǎn)題型,尤其是涉及動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量積的范圍與最值問(wèn)題,解決起來(lái)比較棘手.為突破這一難點(diǎn),筆者對(duì)幾道高考試題進(jìn)行分析,通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型,利用單變量(或雙變量)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、分式函數(shù)等函數(shù)性質(zhì),從數(shù)與形兩個(gè)角度抽象出問(wèn)題的本質(zhì)屬性,深度挖掘問(wèn)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和本質(zhì),建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,形成問(wèn)題解決的知識(shí)體系,探求解決向量數(shù)量積的基本方法.

1 利用二次函數(shù)解決向量數(shù)量積問(wèn)題

例1 (2018年天津卷理8)如圖1所示,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD＝120°,AB＝AD＝1,若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為( ).

圖1

解法1 如圖2所示,連接BD,結(jié)合題設(shè)可知△ABD為等腰三角形,而AB⊥BC,AD⊥CD,所以△BCD為等邊三角形,且BD＝3.不妨設(shè)

圖2

則

對(duì)于以一般圖形(如平行四邊形、梯形)為載體的向量數(shù)量積問(wèn)題,需要認(rèn)真分析題目條件,慎重選擇解決問(wèn)題的路徑.本題根據(jù)題設(shè)條件選擇合適的基底,并利用基底將向量數(shù)量積表示出來(lái),D,E,C三點(diǎn)始終共線(xiàn),通過(guò)設(shè),將向量數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)問(wèn)題,進(jìn)而用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.

分析2__建立平面直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),用坐標(biāo)表示

,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)即可求得答案.

解法2 由于AB⊥BC,AD⊥CD,如圖3 所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,連接AC.由于AB＝AD＝1,則△ADC≌△ABC,而∠BAD＝120°,故∠CAD＝∠CAB＝60°,所 以

圖3

段DC上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)處,故選A.

對(duì)于平行四邊形的數(shù)量積問(wèn)題,需要認(rèn)真分析題目條件,慎重選擇解決問(wèn)題的路徑,改變圖形的位置,抓住題目中的垂直關(guān)系,建立合適的平面直角坐標(biāo)系,從而將涉及的點(diǎn)與向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo),將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù),進(jìn)而用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.

2 利用三角函數(shù)解決數(shù)量積問(wèn)題

例2 (2022年北京卷10)在△ABC中,AC＝3,BC＝4,∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且PC＝1,則的取值范圍為( ).

A.[－5,3] B.[－3,5]

C.[－6,4] D.[－4,6]

解 以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖4所示,則C(0,0),A(3,0),B(0,4).因?yàn)镻C＝1,所以點(diǎn)P在以C為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),設(shè)P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π]),則

圖4

圖5

所以

向量數(shù)量積問(wèn)題經(jīng)常通過(guò)建系設(shè)點(diǎn)解決,解題的關(guān)鍵是能夠建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,將涉及的點(diǎn)與向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo),進(jìn)而利用坐標(biāo)運(yùn)算將數(shù)量積取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的取值范圍問(wèn)題.

3 利用基底解決數(shù)量積問(wèn)題

例3 已知Rt△ABC的斜邊AB＝4,設(shè)P在以點(diǎn)C為圓心、1為半徑的圓上,則PA→?PB→的取值范圍是________.

分析 與例1不同的是本題僅知道AB的長(zhǎng)度,點(diǎn)A,B不再是固定不動(dòng)的,如果建立平面直角坐標(biāo)系解決會(huì)面臨A,B兩點(diǎn)難以用坐標(biāo)表示的問(wèn)題,此時(shí)可以考慮如何轉(zhuǎn)化會(huì)比較簡(jiǎn)單,分析可得C為直角,斜邊AB上的中線(xiàn)長(zhǎng)是定值2,借助已知條件用和表示出,從而將之轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的取值范圍.

于是有

平面向量基本定理是向量模塊的核心,所以在解決向量數(shù)量積問(wèn)題時(shí),選擇合適的基底表示目標(biāo)量,將變動(dòng)的向量都用基底表示出來(lái),達(dá)到減少變動(dòng)向量個(gè)數(shù)的效果.

4 利用一般單變量函數(shù)解決數(shù)量積問(wèn)題

分析 由題設(shè)易知DA⊥AB,所以可以建立平面直角坐標(biāo)系,用參數(shù)λ表示P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),將向量數(shù)量積的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍.

解 在梯形ABCD中,BC＝2,∠BCD＝120°,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,在Rt△CDE中,易知DE＝2,CE＝3.因?yàn)镃D＝1,AB//CD,所以四邊形AECD為矩形,即DA⊥AB.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線(xiàn)為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖6所示,則B(2,0),C(1,3),D(0,3).

圖6

圖7

若題目涉及眾多變量且變量之間存在數(shù)量關(guān)系,則可通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題,盡管化簡(jiǎn)出來(lái)的函數(shù)表達(dá)式是多種多樣的,但只要抓住問(wèn)題的本質(zhì),仍舊可以解決問(wèn)題.

5 利用二元函數(shù)解決數(shù)量積問(wèn)題

分析 題目已經(jīng)明確了兩個(gè)基底,并且第一空要求用兩個(gè)基底表示出其中一個(gè)向量,第二空可以直接利用第一空的結(jié)論,用基底表示出另一個(gè)向量,從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積運(yùn)算,最后通過(guò)函數(shù)的性質(zhì),解決最值問(wèn)題.

雖然本題以常規(guī)三角形為載體,但仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn),三角形僅有一邊和該邊的對(duì)角確定,需在變動(dòng)的三角形中求數(shù)量積的最值.盡管如此,但只要抓住向量數(shù)量積的本質(zhì),利用基底表示目標(biāo)量,然后通過(guò)向量數(shù)量積的定義將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值問(wèn)題,仍可利用代數(shù)法求解.

解法1 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖8 所示,則A(0,0),B(1,0),C(1,2).

圖8

數(shù)學(xué)問(wèn)題存在著多種解法,通過(guò)對(duì)比,我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論是通過(guò)基底表示將數(shù)量積表示函數(shù),還是通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化,都是幾何問(wèn)題代數(shù)化,而在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中總是希望盡可能地減少變量的個(gè)數(shù),這樣有利于問(wèn)題的解決.

與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的取值范圍問(wèn)題,變幻多樣,載體遍布三角形、矩形、梯形、圓等幾何圖形,但是究其本質(zhì),主要將幾何問(wèn)題代數(shù)化后,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的取值范圍問(wèn)題.如何才能進(jìn)行合理的代數(shù)化呢? 需要大家認(rèn)真分析題目中的條件,尤其要關(guān)注變量的個(gè)數(shù),以尋求將題目中的量用最少的參數(shù)來(lái)表示,從而達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的.只要抓住問(wèn)題的本質(zhì),通過(guò)利用基底、模長(zhǎng)、向量的坐標(biāo)表示等方法合理地將平面向量代數(shù)化,將向量數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,構(gòu)建函數(shù)模型,進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

(完)