關注動態立體幾何問題

安 霞

(貴州省都勻第一中學)

1 正方體中的動態問題

例1 如圖1 所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1的外接球的表面積為12π,點P在該正方體的對角面BDD1B1內(包括邊界),則下列說法錯誤的是( ).

圖1

A.若B1P//平面A1C1D,則點P的軌跡長度為6

B.若BP⊥平面A1C1D,則點P的軌跡長度為2 3

C.若點P到平面A1B1C1D1的距離與到點B的距離相等,則點P的軌跡是橢圓的一部分

D.PA＋PA1的最小值為2 3

設正方體的外接球的半徑為R,則根據題意知4πR2＝12π,解得R＝3.設正方體的棱長為a,則有,即,解得a＝2.

對于選項A,設AC∩BD＝O,連接B1O,則易知平面B1AC//平面A1C1D,所以B1O//平面A1C1D.又注意到點P在該正方體的對角面BDD1B1內(包括邊界),若B1P//平面A1C1D,則點P的軌跡為線段B1O(除去端點B1).又△BB1O是直角三角形,所以,則點P的軌跡長度為6,故選項A 正確.

對于選項B,連接BD1,易知BD1⊥平面A1C1D,又點P在該正方體的對角面BDD1B1內(包括邊界),所以點P的軌跡為線段BD1(除去端點B).又△BDD1是直角三角形,則,則點P的軌跡長度為2 3,故選項B正確.

建立全校的安全管理體系。明確網絡安全責任制，由校領導牽頭做到分級管理、自主保護、責任明確。各學院建立網絡安全員機制，做到出現問題與信息中心及時溝通，提高工作效率。信息中心形成網絡通報制度，定期對學校各系統安全掃描，對有安全的高危漏洞進行通報，并提出整改方案。對事發的安全事故要及時做出通報，并協助處理安全問題。落實網絡安全考核制度，對各部門的網絡管理員建立評分與問責制度，明確各部門的網絡安全的負責人，將責任落實到人。

對于選項C,作PQ⊥B1D1,垂足為Q,則PQ⊥平面A1B1C1D1,所以點P到平面A1B1C1D1的距離就是線段PQ的長度,也就是點P到直線B1D1的距離.根據點P到平面A1B1C1D1的距離與到點B的距離相等,可知點P到直線B1D1的距離等于到點B的距離.根據拋物線的定義,可知點P的軌跡是拋物線的一部分,故選項C錯誤.

對于選項D,設A1C1∩B1D1＝O1,連接PO1,則A1C1⊥平面BDD1B1,且PO1?平面BDD1B1,所以A1C1⊥PO1.又點O1為線段A1C1的中點,所以PA1＝PC1,則PA＋PA1＝PA＋PC1≥AC1＝2 3,所以PA＋PA1的最小值為2 3,故選項D正確.

綜上,選C.

本題以熟悉的正方體為載體,靈活設計動點,對解題能力要求較高.其中選項A 和B均考查了動點的軌跡長度,需要先明確動點的軌跡,再求解其長度;選項C的求解充分體現了轉化思想與拋物線定義的綜合運用;求解選項D 的關鍵是分析出PA1＝PC1,這樣有利于靈活運用三角形三邊關系探求目標最小值.

2 圓錐中的動態問題

例2 (多選題)如圖2所示,已知圓錐PO中,PO為高,AB為底面圓的直徑,圓錐的軸截面是面積為2的等腰直角三角形,C為母線PA的中點.點M為底面上的動點,且OM⊥AM,點O在直線PM上的射影為H.當點M運動時,下列說法正確的是( ).

圖2

A.三棱錐M-ABC體積的最大值為

B.直線CH與PA不可能垂直

C.點H的軌跡長度為π

D.AH＋HO的值小于2

對于選項B,由PO為圓錐的高可知PO⊥AM,又OM⊥AM,PO∩OM＝O,所以AM⊥平面POM,故AM⊥OH.由點O在直線PM上的射影為H,可知OH⊥PM,又AM∩PM＝M,所 以OH⊥平 面PAM,所以OH⊥PA.因為點C是Rt△PAO斜邊的中點,所以PA⊥CO.又OH∩CO＝O,所以PA⊥平面COH,則PA⊥CH,故選項B錯誤.

對于選項C,因為PA⊥平面COH,且經過點C與PA垂直的平面僅有一個,所以點H的軌跡一定在平面內.由OH⊥平面PAM,可知OH⊥CH,所以點H的軌跡是以CO為直徑的圓(除去C,O兩點),又,所以點H的軌跡長度為π×CO＝π,故選項C正確.

綜上,選ACD.

本題以圓錐為背景,靈活設計動點問題,側重考查空間想象能力、推理論證能力以及運算求解能力.在選項A 中,關鍵是求解點M到平面ABC的距離的最大值;選項B 側重考查了線面垂直的判定和性質在解題中的靈活運用;判斷選項C 的關鍵是準確分析點H的軌跡是什么圖形;選項D 綜合考查了立體幾何與柯西不等式的綜合運用,對能力的要求較高.

3 翻折過程中的動態問題

例3 如圖3所示,在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝3,現將△ACD沿直線AC向上翻折(如圖4).在翻折過程中,當點D到點B的距離在內變化時,點D的運動軌跡形狀為_________.

圖3

圖4

如圖5所示,過點D作DF⊥AC,垂足為F,設DF的延長線與AB交于點G,過點B作AC的平行線與DG的延長線交于點E.將△ACD沿直線AC向上翻折,結合圖6可知始終有AC⊥DF,AC⊥FE,又DF∩FE＝F,所以AC⊥平面DFE.又過點F與直線AC垂直的平面唯一存在,所以點D的軌跡必在平面內.注意到線段DF的長度保持不變,從而可知點D的軌跡是以F為圓心,且以為半徑的一段圓弧.

圖5

圖6

解題的關鍵是通過巧作輔助線,充分利用翻折過程中的“不變性”,準確判斷點D的運動軌跡.

關注動態立體幾何問題可幫助我們熟悉此類問題的常見考查方式,明確常用解題方法,有利于進一步強化空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及立體幾何與其他知識的綜合運用能力.

(完)