一類涉及三元變量的比較大小問題

尚 萍

(甘肅省白銀市平川中恒學校)

比較大小是高考數學經常考查的一類重要題型,問題求解方法較多.當題設條件中涉及三個變量的對數式連等或關于三個變量的指數式連等時,顯然比較大小具有一定的難度,此時就需要我們靈活運用特例法(僅適合選擇題)或設元法加以靈活求解.本文通過歸類舉例的形式,著重說明在比較大小問題中,如果題設條件涉及三個變量的對數式連等(或指數式連等),那么我們可靈活運用特例法進行簡捷求解,亦可在設元變形的基礎上,靈活運用相關函數的性質、基本不等式或其他知識加以求解.

1 對數式連等

若題目中涉及三個變量,且給出三個對數式連等,則可根據下面兩種不同的方法求解:一是運用特例法對變量進行靈活“賦值”分析,這樣有利于迅速比較大小;二是運用設元法對連等式“換元”,再將已知的對數式變形為指數式,最后利用相關冪函數的單調性求解.

例1 設x,y,z為 正 數,且log2x＝log3y＝log5z＞0,則的大小關系不可能是( ).

解法1 取x＝2,則由log2x＝log3y＝log5z,可得y＝3,z＝5,從而可知,因此選項C正確.

取x＝2,則由log2x＝log3y＝log5z,可得y＝3,z＝5,從而可知,因此選項D 正確.

綜上,根據排除法可知選項A,C,D 均可能成立,故選B.

解法2 設log2x＝log3y＝log5z＝k,則x＝2k,y＝3k,z＝5k,即.又k＞0,所以只需比較k與1的大小.

該解法以“設元”作為解題的切入點,先將目標問題等價轉化為比較2k－1,3k－1,5k－1的大小,再根據冪函數f(x)＝xk－1的單調性,以分類討論的方式靈活求解.運用冪函數的單調性時,需關注常用結論:當α＞0時,y＝xα在(0,＋∞)上單調遞增;當α＜0時,y＝xα在(0,＋∞)上單調遞減.

2 指數式連等

若題目中涉及三個變量,且給出三個指數式連等,則可根據下面兩種不同的方法加以求解:一是運用特例法對變量進行靈活“賦值”分析;二是運用設元法對連等式“換元”,再將已知的指數式變形為對數式,然后根據對數的運算法則以及其他相關知識加以靈活求解.

例2 (多選題)已知x,y,z為正數,且3x＝4y＝6z,則以下說法中正確的是( ).

解法1 取z＝1,則由3x＝4y＝6,可得x＝log36,y＝log46,且x＞1,y＞1.于是,有

角差是井底儀器內方位傳感器方位測量零點與動力鉆具彎接頭方位的差值。在MWD儀器下井之前，需要進行角差測量并需將角差值輸入MWD配套軟件中，儀器入井后開始正常工作時，地面工作軟件所顯示的工具面值就是井底儀器所測到的方位值經角差值修正后的值。

故選項A 正確.

因為

所以3x＜4y.又

所以3x＜4y＜6z,故選項B錯誤.

因為

故選項C正確.

因為

所以xy＞2＝2z2,故選項D 正確.

綜上,選ACD.

該解法靈活利用了“特例”,其解題思想是先給定某一個變量的取值,再求解其他兩個變量的取值,進而利用直接推理法判斷各選項是否正確.實際上,對選項C 和D 還可以利用基本不等式加以分析.

解法2 設3x＝4y＝6z＝k,則x＝log3k,y＝log4k,z＝log6k,且k＞1.于是,有

故選項A 正確.

因為

所以3x＜4y.又

所以4y＜6z.從而3x＜4y＜6z,故選項B錯誤.

因為

因為

所以,故 選 項D正確.

綜上,選ACD.

該解法靈活利用了“設元法”,其解法具有一般性,充分體現了對數運算與基本不等式知識在解題中的綜合運用.

本文結合例題解析,旨在幫助學生理解、掌握處理此類涉及三個變量的比較大小問題的常用思維方法,提高其對相關基本知識、思想方法的靈活運用能力.

(完)