分析試題背景,探索試題解法及變式
——以一道復習題為例

李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學)

教材是教師和學生手中的重要資料,它是專家們花費大量心血編寫出來的,具有示范性和權(quán)威性.因此,教師和學生都應該好好地研究教材,挖掘教材,發(fā)展教材,最終吃透教材.本文以課本中的一道復習題為例,從試題呈現(xiàn)、背景分析、結(jié)構(gòu)分析、解法探究、變式拓展等視角進行深度探究.

1 試題呈現(xiàn)

題目 (人教A 版高中數(shù)學必修第一冊第58頁第5題)若a＞0,b＞0,且ab＝a＋b＋3,求ab的取值范圍.

2 背景分析

本題是第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式中復習參考題的第5題.本章主要學習了不等式的性質(zhì)、基本不等式及其應用、一元二次不等式的解法等.由此可以發(fā)現(xiàn)題目是以不等式為背景,主要考查基本不等式的應用和一元二次不等式的解法.

3 結(jié)構(gòu)分析

本題是一道典型的“已知xy＋ax＋by＋c＝0求xy(或Ax＋By)的取值范圍問題”.此類試題所涉及的知識點主要有基本不等式、一元二次不等式、雙勾函數(shù)等,所涉及的數(shù)學思想主要有整體思想、函數(shù)思想、方程思想、消元思想等.解決問題的方法有不等式法、判別式法、函數(shù)法等.

4 解法探究

視角1 利用基本不等式a＋b≥2ab(a＞0,b＞0)把等式ab＝a＋b＋3中的a＋b消掉,然后再利用一元二次不等式解出ab的取值范圍.

解法1 由a＞0,b＞0,則a＋b≥2ab.又ab＝a＋b＋3,所以ab≥2ab＋3,則ab－2ab－3≥0,即,解得ab≥3,即ab≥9,當且僅當即a＝b＝3時,ab取得最小值9,所以ab的取值范圍為[9,＋∞).

在解答“已知xy＋ax＋by＋c＝0求xy的取值范圍”這一類問題時,先利用基本不等式x＋y≥2xy(x＞0,y＞0)把等式xy＋ax＋by＋c＝0中的ax＋by消掉,得不等式xy＋2abxy＋c≤0,再利用一元二次不等式解出xy的取值范圍.

視角3 由ab＝a＋b＋3將a(或b)代換,再將a(或b)的值代入ab中,得到一個關(guān)于b(或a)的代數(shù)式.然后利用基本不等式a＋b≥2ab(a＞0,b＞0)解出ab的取值范圍.

在解答“已知xy＋ax＋by＋c＝0求xy的取值范圍”這一類問題時,可以通過xy＋ax＋by＋c＝0將x(或y)代換,再將x(或y)的值代xy中,然后化簡得到一個關(guān)于y(或x)的代數(shù)式,最后利用基本不等式解答.

視角4 由ab＝a＋b＋3將a(或b)代換,再將a(或b)的值代入ab中,得到一個關(guān)于b(或a)的代數(shù)式,再利用函數(shù)的圖像得出ab的取值范圍.

圖1

視角5 令t＝ab,解出a(或b),再將a(或b)的值代入等式ab＝a＋b＋3中,得到一個關(guān)于b(或a)的一元二次方程,然后利用一元二次方程的根為正數(shù),由判別式同根與系數(shù)的關(guān)系解出t的取值范圍,即得ab的取值范圍.

對于“已知xy＋ax＋by＋c＝0 求xy(或ax＋by)的取值范圍”這一類問題,可令t＝xy(或t＝ax＋by),然后解出x(或y),再將x(或y)的值代入xy＋ax＋by＋c＝0中,可得到一個關(guān)于y(或x)的一元二次方程,然后利用一元二次方程的根為正數(shù),由判別式及根與系數(shù)的關(guān)系求解.

視角6 將ab＝a＋b＋3變形成,然后利用權(quán)方和不等式解出a＋b的取值范圍,從而可得ab的取值范圍.

解法6 由ab＝a＋b＋3,得ab＋a＋b＋1＝2a＋2b＋4,則(a＋1)(b＋1)＝2(a＋1)＋2(b＋1),即.因為a＞0,b＞0,由權(quán)方和不等式得

雖然權(quán)方和不等式在高中教材中沒有出現(xiàn),但還是有補充的必要,因為很多不等式問題可以用權(quán)方和不等式來求解,而且比用基本不等式解答更快捷.權(quán)方和不等式的二維公式如下:

若x,y∈R?,a,b∈R?,則當且僅當時,等號成立.

5 變式拓展

在解答完一道題目后,可通過對問題的條件、結(jié)論以及問題的背景等進行變式,以鍛煉學生靈活應用不同方法解答問題的能力.

變式1 若正數(shù)x,y滿足2x＋y＋6＝xy,則xy的最小值是_________.

6 解題后的反思

在數(shù)學的教學中,教師要啟發(fā)學生多角度、多層次去思考問題,對于同一個知識點,若使用的角度不同、使用的先后順序不同,其效果也不一樣.因此,我們應巧妙地運用這些知識點,從而使問題得到簡化,更要引導學生提煉一般模型及解法,達到舉一反三的目的,從根本上提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

(完)