強基計劃數學備考系列講座(19)
——復合最值及其探求策略

王慧興(正高級教師 特級教師)

(清華大學附屬中學)

1 知識要點

1.1 基本概念

以雙變量函數f(x,y)為例,給定x∈D1,當y∈D2時,若f(x,y)有最大值M,則這個M與x的值有關,是x∈D1的一個函數M＝M(x),再讓x∈D1,如果M存在最小值Mmin,則

通常稱之為一種復合最值,其中M稱為內層最值,或“內層最值函數”.復合最值也有其他形式,譬如

1.2 探求策略

探求復合最值的根本策略是基于內層最值的概念,選擇數值或函數插值,組合常數,按均值適度放縮,探求目標.

1.3 不可換序

復合最值與最值順序有關,通常不可以交換.譬如根據函數圖像位置關系(如圖1),可得

圖1

2 典例精析

高校強基計劃校考筆試經常立意復合最值試題,在高考試題中也多次出現復合最值試題.

2.1 基于內層最值概念,構建內層最值函數,轉化為單變量函數,探求目標

2.2 選定主元,辨別性質,合理定位,按均值放縮,探求目標

探求一個復合最值,關鍵是基于內層最值概念,先固定一個變量,以另一變量為主元,轉化成一個單變量函數M.根據這個單變量函數的特性——單調性與凹凸性,定位內層最值,縮小包圍圈,建立內層最值函數M.例1表明,這個內層最值函數往往是分段的,這體現最值問題探究過程中的分類討論思想,這種分類討論常常可以通過“平均值組合”求解.

例2 同例1.

2.3 舍棄干擾項,合理取舍,組合常數,按內層最值與均值放縮,探求目標

2.4 按內層最值概念,均勻插值,化無限為有限

例6 (清華大學)已知函數f(x)＝|x2＋a|＋|x|(x∈[－1,1]),記f(x)的最大值為M(a),求M(a)的最小值.

由對稱性,只需考慮x∈[0,1],由內層取最大值,均勻插值,得

2.5 分析極端性,合理插值,化無限為有限

2.6 基于內層最值布列不等式,按均值放縮,構建目標

例8 給定正數a,b,c,記,a＋b2＋c3}＝M,當正數a,b,c變化時,求Mmin.

由內層最值,得

解得M≤3,當且僅當時,有

2.7 綜合問題中的復合最值探求

2.8 探求組合問題中的復合最值

例11 10個人到書店買書,已知:

(1)每人都買了3本書;

(2)任何兩個人所買的書中,都至少有一種相同.

問:購買人數最多的一種書最少有多少人購買?

所以

即x≥4.如果x＝4,則所有xi＝4(i＝1,2,…,m),與矛盾,所以x≥5.

構造:記Bi為互不相同的書,當x＝5時,存在購買人數最多的一種書恰有5人購買的情況如下:

故購買人數最多的一種書最少有5個人購買.

2.9 應用問題中的復合最值探求

例12 某企業接到生產3000臺某產品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產品需要這三種部件的數量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業計劃安排200個工人分成三組分別生產這三種部件,生產B部件的人數與生產A部件的人數成正比,比例系數為k(k為正整數).

(1)設生產A部件的人數為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產需要的時間;

(2)假設這三種部件的生產同時開工,試確定正整數k的值,使完成訂單任務的時間最短,并給出時間最短時具體的人數分組方案.

(1)設完成A,B,C三種部件的生產任務需要的時間(單位:天)分別為T1(x),T2(x),T3(x),由題設有

其中x,kx,200－(1＋k)x均為1 到200 之間的正整數.

(2)設完成訂單任務的時間為

3 實戰演練

(完)