三角函數在物理運動問題中的應用

高雙云

【摘要】新高考數學試卷中，創新情境試題是其中最具創新特色的一類問題，結合高考數學命題的指導思想，以三角函數為問題背景，借助物理知識巧妙入題，通過物理中幾類與之相關的常見模型加以分析與應用，利用數學知識、數學方法等來解決問題，引領并指導復習備考與研究．

【關鍵詞】三角函數；簡諧運動；機械波；電學

物理學中的簡諧運動（常見的如彈簧、單擺等）、機械波、電學等，其共同的特點是具有周期性等三角函數的基本特征，利用三角函數的相關知識來解決對應的物理學的應用，實現三角函數在物理學科中的交匯融合與綜合應用．

1 彈簧

例1 如圖1所示，彈簧上掛著一個小球作上下運動，小球在ts時相對于平衡位置的高度h（cm）的關系式為h=2sint+2cost，t∈［0，+∞），則小球在開始振動（即t = 0）時h的值為cm，小球振動過程中最大的高度差為 cm．

分析 根據題目條件，利用彈簧運動中小球在t s時相對于平衡位置的高度h（cm）的三角關系式，綜合三角函數知識，通過三角恒等變換，結合三角函數值的求解以及振幅的確定來分析與解決對應的問題．

解析 根據題中關系式，化簡可得

h=2sint+2cost

=222sint+22cost=2sint+π4，

令t = 0，可得h=2.

由振幅為2，可得小球振動時最高離平衡位置向上為2，最低離平衡位置向下為2，

故最大的高度差為4.

故填答案：2；4．

點評 作為最常見的簡諧運動之一，彈簧模型是比較熟知的一類三角函數應用場景，利用彈簧的運動特點、運動規律或運動過程的關系式等形式來巧妙設置三角函數問題，結合三角函數的相關知識來分析與解決相應的物理中的簡諧運動應用問題．

2 機械波

例2 在自然界中，存在著大量的周期函數，比如聲波．音樂，是用聲音來展現美，給人以聽覺上的享受．著名數學家傅里葉研究了樂聲的本質，他證明了所有的樂音都能用數學表達式來描述，它們是一些形如y=asinbx的簡單正弦函數的和，其中頻率最低的一項是基本音，其余的為泛音．由樂音的數學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍，稱為基本音的諧波．下列函數中不能與函數y=0.06sin180000t（基本音）構成樂音的是（? ）

（A）y=0.02sin360000t.

（B）y=0.03sin180000t.

（C）y=0.02sin181800t.

（D）y=0.05sin540000t.

分析 根據題目條件，利用聲波所對應的樂音的三角函數表達式，以及泛音的頻率與基本音的頻率之間的關系，結合三角函數中頻率、最小正周期與對應參數ω之間的關系中進行分析，結合選項中給出的三角函數關系式加以分析與判斷．

解析 由于頻率f=1T=ω2π，

根據題目條件可知若f1=nf2（n∈N*），

則必有ω1=nω2（n∈N*），

易得360000=2×180000，

180000=1×180000，540000=3×180000，

故選項（A）（B）（D）中函數都能與函數y=0.06sin180000t構成樂音，

只有選項（C）中，181800不是180000的整數倍，

故選擇答案：（C）．

點評 借助樂音，通過聲波這一常見的機械波來創設場景，利用樂音所對應的三角函數關系式，結合樂音中頻率不同的基本音與泛音這些專業的名詞及其對應之間的關系的構建，巧妙聯系起物理學、聲樂、數學等相關學科知識，創新應用．

3 電學

例3 已知電流I與時間t的關系為I=Asin（ωt+φ）．

如圖1所示的是I=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一個周期內的圖象，根據圖中數據求I=Asin（ωt+φ）的解析式.

分析 根據題目條件，利用電學中電流與時間之間的三角函數關系的構建，結合三角函數的圖象與性質來確定對應的三角函數解析式．

解 （1）由題圖可知A=300，

設t1=－1900，t2=1180，

則周期T=2（t2－t1）=21180+1900=175，

可得ω=2πT=150π，

又當t=1180時，I=0，

即sin150π×1180+φ=0，

而|φ|<π2，解得φ=π6，

故所求的解析式為I=300sin150πt+π6.

點評 借助電學中常見的電流與時間之間的三角函數這一熟知的數學模型，巧妙構建三角函數的相關概念、圖象與性質等知識，通過數學中函數圖象的直觀分析、數學運算與邏輯推理等反饋，解決相應的物理應用問題．

4 結語

不同學科之間的交匯與融合，特別如以上數學與物理學科相融合，此類創新情境數學試題能緊密聯系生活實際，滲透其他學科中的相關知識，借助數學知識進行數學建模，巧妙化歸與轉化，突出考查數學建模、數據分析、邏輯推理和數學運算等核心素養，深受命題專家的青睞．

參考文獻：

［1］湯琴.函數思想在高中物理解題中的應用探討［J］. 數學學習與研究.2021（01）：148-149.

［2］楊軍.函數極值在高中物理解題中的應用［J］.物理之友2017（05）：40-41+43.

［3］高會平.數學向量與三角函數知識在高中物理中的應用例析［J］.教學考試2022（31）：45-50.

［4］朱政和.三角函數在高中物理中的應用［J］.知識文庫.2018（20）：169.