求解幾何體外接球問(wèn)題的不同思路分析

張廣海

【摘要】高中數(shù)學(xué)的立體幾何問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)一類(lèi)將空間幾何體和外接球結(jié)合在一起的問(wèn)題，常見(jiàn)的空間幾何體有三棱錐、四棱錐、三棱柱等.解答這些常見(jiàn)幾何體的外接球半徑、表面積以及體積的相關(guān)問(wèn)題，則要求同學(xué)們具備一定的空間想象能力和不同的解題思路與方法.本文從具體例題切入，主要從三個(gè)不同解題思路分析如何求解幾何體的外接球問(wèn)題，以此給同學(xué)們提供更多思考與啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】幾何體外接球問(wèn)題；補(bǔ)形；球心

幾何體外接球問(wèn)題在工程、科學(xué)和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、機(jī)器人學(xué)、物體識(shí)別等.求解幾何體外接球問(wèn)題是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，尤其是在處理具有多種類(lèi)型和復(fù)雜形狀的幾何體時(shí)，需要選擇合適的解決方法.本文提出了三種不同的思路來(lái)解決這一問(wèn)題，分別是補(bǔ)形思路、確定球心思路和截面思路.

1 補(bǔ)形思路

根據(jù)已知幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)補(bǔ)充得到長(zhǎng)方體、正方體或直棱柱這些比較熟悉的幾何體，求這些幾何體對(duì)應(yīng)的外接球能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，解題也會(huì)更加直接簡(jiǎn)單.

例1 已知底面邊長(zhǎng)等于1，側(cè)棱長(zhǎng)等于2的正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)全都在同一個(gè)球面上，則該球的體積等于（? ）

（A）32π3. （B）4π. （C）2π. （D）43π.

解析 對(duì)所給條件即底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度進(jìn)行分析，可考慮將該空間幾何體補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，即問(wèn)題等價(jià)于求解長(zhǎng)方體的外接球體積.其次根據(jù)長(zhǎng)方體外接球的半徑公式2R2=a2+b2+h2，代入相關(guān)值求得外接球半徑.最后根據(jù)球體體積公式，運(yùn)算得到問(wèn)題答案.

如圖1所示，假設(shè)該外接球的半徑等于R，根據(jù)公式可得2R2=22+12+12，

所以外接球半徑R=1，由球體的體積公式可知：V=43πR=43π，故正確答案為（D）選項(xiàng).

2 確定球心思路

幾何體外接球的定義，即球心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.根據(jù)這一定義可嘗試確定外接球的球心，從而確定半徑和表面積、體積，這種思路可稱(chēng)為確定球心思路.

例2 在三棱錐A－BCD中，BC⊥CD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，則三棱錐外接球O的半徑為.

解析 結(jié)合所給條件對(duì)問(wèn)題相關(guān)的三棱錐空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，可得到AD⊥AB和BC⊥CD，由斜邊上的中點(diǎn)到頂點(diǎn)A，B，C，D的距離都相同，可確定球心的位置，求出BD的邊長(zhǎng)即可得出外接球的半徑.

因?yàn)锽C⊥CD，BC=1，CD=3，所以BD=2，

又因?yàn)锳D2+AB2=22+22=4=BD2，所以AD⊥AB，

所以球O的球心在BD的中點(diǎn)，所以球O的半徑為1.

變式 在三棱錐P－ABC上，PA=PB=AC=BC=2，AB=23，PC=1，則三棱錐外接球的表面積為.

解析 首先確定球心的位置，三角形ABC的外接圓圓心一定和三棱錐外接球的球心在同一條垂線上，故可確定球心位置，其次根據(jù)定義，球心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離都相同，可列出相關(guān)等式，運(yùn)算并解答，即可得到三棱錐外接球的半徑和表面積大小.

作△ABC的外接圓，圓心為O，過(guò)圓心O作面ABC的垂線，三棱錐外接球的球心M在垂線上，

因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以∠A=∠B=30°，外接圓的半徑r=22sin30°=2，

以外接圓的圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則M0，0，z，C－2，0，0，P－32，0，32，

因?yàn)镸P=MC，所以4+z2=94+32－z2，解得z=－33，

故三棱錐外接球的半徑R=MC=4+z2=133，三棱錐外接球的表面積S=4πR2=523π.

3 截面思路

經(jīng)過(guò)外接球球心的平面是最大的圓，由幾何體的平面所截得的圓與面積最大的圓存在一定聯(lián)系，即根據(jù)截面圓半徑，外接球半徑和截面到中心圓的距離構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解答問(wèn)題求得半徑等其他值.

例3 已知正四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高度等于4，底面邊長(zhǎng)等于2，則該球的表面積為.

解析 對(duì)正四棱錐進(jìn)行分析，可知該幾何體外接球的球心在底面中心E與頂點(diǎn)P的連線段上，且點(diǎn)E是正方形ABCD外接圓的圓心，此時(shí)可以構(gòu)造直角三角形OAE.假設(shè)球的半徑為R，球心到截面圓圓心的距離為OE，球的半徑為OA，且AE的邊長(zhǎng)可求得，根據(jù)勾股定理列出方程O(píng)A2=OE2+AE2，運(yùn)算解答即可得到外接球的半徑，進(jìn)一步根據(jù)表面積公式求出對(duì)應(yīng)值.

將AC，BD連接交于點(diǎn)E，連接AO，PE，如圖3所示，假設(shè)球心為O，球O的半徑等于R，在直角△AOE中，由勾股定理得4－R2+22=R2，解得R=94，故外接球O的表面積等于4πR2=81π4.

4 結(jié)語(yǔ)

立體幾何的外接球問(wèn)題在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)頻率較為頻繁，因此同學(xué)們一定要掌握解決外接球問(wèn)題的有關(guān)方法和思路，可以對(duì)問(wèn)題幾何體進(jìn)行幾何體模型的補(bǔ)充，也可以利用球的幾何定義求解，還可以運(yùn)用構(gòu)造三角形思路進(jìn)行解答.除了熟悉和掌握相關(guān)解題思路，還要熟練掌握一些基礎(chǔ)公式，才能保證解題的速率與效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］楊彩云.截面法在求解空間幾何體外接球問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)：高中版， 2019（5）：35-36；

［2］李甲銀.求幾何體外接球半徑的兩種思路［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)教育， 2021， 000（002）：P.46-46.

［3］吳清清.幾何體的外接球問(wèn)題［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2018（4）：6-7