從“感悟”到“論證”再到“應(yīng)用”

文／浦夢婷

“軸對稱圖形”是蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊第二章內(nèi)容。初中階段幾何圖形有三大基本變化：平移、旋轉(zhuǎn)、翻折。下面，我們一起來了解本章的具體內(nèi)容。

一、動手操作，感悟概念

本章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容從“軸對稱與軸對稱圖形”出發(fā)，理解“軸對稱的性質(zhì)”，從而“設(shè)計軸對稱圖案”，再將軸對稱中的知識點轉(zhuǎn)移到“線段與角的軸對稱性”和“等腰三角形的軸對稱性”。先從生活實際出發(fā)，找出生活中的軸對稱，再抽象到數(shù)學(xué)模型，感悟從特殊到一般。

同學(xué)們在學(xué)習(xí)一個新的知識點時，往往先觀察，形成初步了解。比如，研究等腰三角形的軸對稱性時，很多同學(xué)通過觀察能夠得到“等腰三角形是軸對稱圖形、頂角平分線是對稱軸”以及“等腰三角形兩底角相等”，除此以外很難再發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論。但是，通過將等腰三角形兩腰進行折疊重合，我們就能夠得到“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（三線合一）”這個性質(zhì)。

二、論證推理，明確概念

在動手操作的過程中，同學(xué)們對所學(xué)知識有了基礎(chǔ)的感悟，但這也只能是“猜想”。在數(shù)學(xué)上，我們稱之為“定理”的，都必須要經(jīng)過嚴密的論證推理過程。

例1如圖1，在等腰三角形ABC中，證明：等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合（三線合一）。

圖1

證明：（方法一）作AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD。

由題可得，AB=AC，AD=AD。

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SAS）。

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°。

∴AD是△ABC底邊上的高線、中線及頂角平分線。

（方法二）取BC中點D，連接AD。通過“SSS”可證△ABD≌△ACD，從而得到AD⊥BC，AD平分∠BAC。

（方法三）作AD⊥BC，通過“HL”可證Rt△ABD≌Rt△ACD，從而得到AD平分∠BAC，BD=CD。

通過上述論證的過程，我們利用全等三角形的證明，將數(shù)學(xué)知識串聯(lián)在一起，增加知識點間的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的樂趣。

三、應(yīng)用知識，提升能力

以一道典型題及解法作為根本，我們再深入研究和討論其他例題。在應(yīng)用知識的過程中，我們應(yīng)注重數(shù)學(xué)規(guī)律的揭示、解題策略的優(yōu)化、合情推理與演繹推理的融合，目的是利用圖式啟智，探索和發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。

例2如圖2，在△ABC中，AB=AC，D為線段BC上一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE=DF，求證：BD=CD。

圖2

證明：連接AD。

∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，

∴∠BAD=∠CAD。

又∵AB=AC，

∴BD=CD。

本題將“軸對稱圖形”中的知識點融合，包含了“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”和“等腰三角形三線合一”兩個知識點。同學(xué)們也可嘗試通過全等證明，對比兩種方法，選擇適合自己的方法。

數(shù)學(xué)知識層層遞進，新老知識聯(lián)系緊密。因此，我們要學(xué)會推理，不斷思考，才能提升數(shù)學(xué)能力。