加強知識的內在關聯，促進知識結構化
——例談大單元視角下的初中數學課堂

梁雅裕|浙江省余姚市實驗學校

鮑建立|浙江省余姚市教師進修學校

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）提出“探索大單元教學，積極開展跨學科的主題式學習和項目式學習”，要求“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”.大單元教學可加強知識的內在關聯，促進知識結構化，促進學生舉一反三、融會貫通.它不僅是深化教學改革、提高教學質量的重要舉措，也是落實立德樹人根本任務、培育學生核心素養的有效方式.下面以“利用函數圖象求函數最值”為例，闡述筆者在大單元教學中的探索、思考與努力.

一、對大單元視角下的初中數學課堂的認識與理解

大單元教學，不是一個知識點或技能的教學，而是基于學情與教學實際，站在更高的角度，對整章、整冊甚至跨年級的知識作系統的考慮.實施大單元教學，教師要對教材內容進行優化重組，或是將多個課時的內容整合在一起，或是從單元整體的角度來思考某一節課的學習，或是跨年級將思想方向相類似的知識整合在一起，齊頭并進，整體把握教學內容和特征.教師要結合學生的認知規律，構建新的知識體系，摒棄原本的“課時主義”，大膽嘗試設計教學活動，從而使課堂內容有趣且有用，知識呈現更具系統性，教學銜接更自然.

在教學中，筆者突破傳統的束縛，大膽地將初中學習過的一次函數、反比例函數、二次函數結合起來，利用學生對于函數已有的認知，將函數進行變形或組合得到變式函數，反復利用已有的知識分析理解變式函數解析式以及變式函數的組成，從而畫出函數的圖象，從“形”的角度直觀地感受到函數的“數”，讓學生充分感受到“數—形—數”過程，體會“以數解形，以形助數”的思想方法（如圖1所示）.

圖1 “利用函數圖象求函數最值”大單元教學設計

任何一種教學改革的目的，都指向學生的發展，大單元教學也不例外.它讓學生通過學習，能夠更好地理解知識與方法，形成全面的知識認知，從而“既見樹木，又見森林”.這節課復習了三種已學過的函數，并進一步讓學生了解了函數之間的緊密關聯.由此，學生不僅能解決這節課的問題，還能將這種方法應用到之后遇到的函數問題中，舉一反三，觸類旁通.這節課的主要知識點是三類函數，還會用到絕對值、軸對稱、平移、最值、分類討論、數形結合等數學知識或思想，所以面向的是九年級學生.

二、大單元視角下的初中數學課堂的教學實施過程

（一）教學目標

大單元教學的教學目標仍要以學生為本，以學生為主體，注重學生的收獲與體驗.教師要以更系統的眼光去看待教學內容，心懷“大觀念，大任務，大問題”，構建大框架下的教學內容，讓學生站得高、看得遠.這樣既有助于學生理解當下內容，更有助于學生之后的繼續學習.這節課的教學目標如下.

（1）回顧學過的三種函數，函數的解析式，函數的圖象以及函數的性質（這節課從最值切入）.

（2）基于已學過的三種函數，意識到可以利用已有的函數知識，來分析解決變式函數甚至是沒有見過的未知函數的問題.

（3）體會數形結合、分類討論的數學思想，體會函數圖象的翻折、組合與平移，以及函數圖象直觀體現出函數的性質.

（4）通過參與課堂活動，感受探索的樂趣，學會用數學的方法思考，用數學的眼光觀察，用數學的語言表達.

（二）教學過程

在備課過程中，筆者思考能否將上述三種函數進行整合.從三種函數的角度進行單元整體教學設計，目的有三：體現函數之間的內在邏輯關系，體現函數圖象與函數性質之間的緊密聯系，體現數學學習與核心素養表現的關聯.經過名師指導、同伴幫助，筆者大膽嘗試，摒棄傳統的知識羅列課或是解題課，從教學內容與學生已有的知識儲備、認知規律出發，將三種函數進行組合或變形，與學生一起探究變式函數的圖象，并分步實施、整體把握，將教學目標落實到教學活動的各個環節.由此，學生對函數有了更為整體的認識，能夠站在更高的高度去看函數，使已有知識經驗向更深層次邁進.

1.復習引學，點燃思維

【問題1】一次函數y=-x+2 有最值嗎？如果x的取值范圍為-1 ≤x≤3，它有最值嗎？

追問1：反比例函數y=有最值嗎？如果x的取值范圍為-1 ≤x≤3，它有最值嗎？如果x的取值范圍為1 ≤x≤3呢？

追問2：二次函數y=-x2+4x+5 有最值嗎？如果x的取值范圍為-1 ≤x≤3，它有最值嗎？如果x的取值范圍為3 ≤x≤5呢？

設計意圖：在學生已有的認知基礎上，復習三種已經學過的函數，經歷“尋找函數圖象上的特殊點的坐標—確定函數圖象—直觀找到函數相應范圍內的最值”的過程，讓學生思考三種函數的最值，以及不給定自變量的取值范圍、給定自變量的取值范圍或改變自變量的取值范圍時，函數最值的不同情況，使教學過程更加自然，體現大單元教學結構，為接下來的探究學習作鋪墊.

2.充分探究，激活思維

【問題2】函數y=有最值嗎？

追問1：你能直接得到此函數的最值嗎？你有什么辦法？借助函數圖象會不會更直觀一些？

追問2：怎么理解這個函數？何時是反比例函數y=何時是一次函數y=x？

追問3：有了之前三種函數的復習鋪墊，你能否畫出此函數的圖象，從而更為清晰地找到函數的最值？

【問題3】函數y=x2-3|x-1 |-x-3 有最值嗎？

追問1：絕對值會讓我們想到去絕對值，去絕對值后，此函數是怎樣的函數？

追問2：求復雜函數的最值不妨先畫出函數圖象，你能畫出此函數的圖象嗎？

設計意圖：三種已學過的函數為這兩個問題搭建了思維平臺，讓復習課帶上了新授課的“味道”，體現了華羅庚教授提出的“熟書生溫”的教學理念.學生在思考的過程中，聯想到之前學過的函數知識，探索變式函數的圖象，從而得到變式函數的性質.學生反復經歷從解析式到圖象再到最值的過程，充分感受“以數解形，以形助數”的思想方法.

3.潛心再探，提升思維

【問題4】函數y= |-x2+2x+3 |有最值嗎？

追問1：那么這個函數是二次函數嗎？

追問2：整體取絕對值對函數的圖象造成了什么樣的影響？需要對二次函數的圖象作怎樣的處理？

【問題5】函數y=max｛x+1，-x2+2x+3｝有最值嗎？

追問1：max表示什么意思？

追問2：你能畫出這個函數的圖象嗎？從圖象可以看出此函數有最值嗎？

【問題6】函數y=有最值嗎？

（引導學生一步一步分析函數的解析式，看到絕對值想到分情況討論，當x＜0時，函數為，當x≥0 時，函數為，函數與函數是由函數y=與函數通過平移得到的，所以函數的圖象在引導下不難畫出）

追問：除了最值，我們還能從圖象上得到此函數的哪些性質？（對稱性、增減性等）

設計意圖：通過問題2～3的引導與鋪墊，學生已經初步有了“函數解析式決定函數圖象，從而可以直觀地得到函數性質”的意識，所以對于問題4～6，學生也會想到通過分析函數解析式得到函數圖象，再得到函數性質.但是不管怎樣，都是以深入探究過的三類函數為源，涉及三類函數的解析式、圖象與性質，甚至涉及函數的平移、函數圖象的翻折等知識，得到變式函數的圖象與性質，拾級而上，順乎其然，站得高看得遠.在教師的引導下，探索稍有難度的問題，有利于培養學生的推理能力與研究意識，這也是整個函數領域的教學目標之一.

4.盤點收獲，聚焦思維

針對“通過這節課的學習，你有什么收獲”這一問題，小組代表暢所欲言，教師給予適當補充，完善這節課的知識結構與思想方法（如圖2所示）.

圖2 “利用函數圖象求函數最值”知識結構與思想方法

設計意圖：數學課堂實施大單元教學應符合學生的認知規律，從已知到未知，從熟悉到陌生，從“數”到“形”再到“數”，體現“以數解形，以形助數”，從具體實例到思想方法，引領學生學會用數學的方法思考，用數學的眼光觀察，用數學的語言表達.這樣會讓零散的知識成串成套，會將研究函數的方法整合在一起，有助于學生之后的繼續學習.

三、對大單元視角下的初中數學課堂的思考與感悟

（一）轉變觀念，重新看待日常教學

由于教材和長期固定思維的限制，新課教學基本都是以規定的課時為單位進行的，這就容易受到內容的束縛，使思維受限，學生的學習力、研究力、思維遷移力也會受到極大的影響.因此教師不妨大膽一點，突破思維限制，突破“課時主義”.如浙教版義務教育教科書《數學》七年級下冊第1章第4節《平行線的性質》，一般將內容分為兩個課時進行教學，但實際上，教師可以將兩個課時合并為一個課時，因為從“兩直線平行，同位角相等”到“兩直線平行，內錯角相等”的得出，只需要增加“對頂角相等”就可以得到，從“兩直線平行，同位角相等”到“兩直線平行，同旁內角互補”，也只需要增加鄰補角的結論就可以得到，后兩個結論的得到順勢而成，學生接受起來并不困難.

弗萊登塔爾認為：“學習數學的唯一正確的方法是實行‘再創造’.”［1］這告訴我們，復習課教學應該“溫故知新”.復習課不應是浮于淺層的重復，也不是機械地刷題，而應是思維的攀升，指向關鍵能力與思維品質.筆者設計這節課的目的是復習函數，但并沒有過多地糾結于已經學過的三種函數，而是對三種函數進行變式與組合，通過研究變式函數來復習函數的知識與思想方法，從而提高學生對函數的認識，幫助學生形成更加穩固、完善的函數認知.這可以改變過去過分強調知識或過分強調解題的局面，培養學生的“再發現”與“再創造”能力.

（二）轉變視角，拓展知識認知高度

大單元教學并非是將基礎知識或者題型進行零散回顧，而是要重新審視原本看似孤立的知識，從單元整體視角拓寬、加深對原本知識內涵的理解.教師要以更系統的眼光去看待教學內容，引導學生更深入地理解知識與方法，達到對知識塊的融會貫通，提升學生解決問題的能力.如一元一次方程、二元一次方程以及一元一次不等式都是在學習一次函數之前學習過的，一元二次方程是在學習二次函數之前學習過的，教師可以嘗試在學完函數后，帶領學生從函數的角度重新審視方程與不等式，因為函數、方程、不等式三者之間有密切的關系，從函數的角度看方程與不等式的解，也可以借助函數圖象，直觀地得到方程與不等式的解，這有利于學生在之后的學習中解決更復雜的方程或不等式.拓展知識的認知高度并不是一件簡單的事情，需要教師花時間花精力，充分發揮教學智慧，遴選教學內容，使知識結構化、系統化、整體化，形成知識網絡和完善的數學認知結構，實現“既見樹木，又見森林”.

（三）轉變方向，指向學生核心素養

《課程標準》中多次提到了核心素養，如“發展學生核心素養是落實立德樹人根本任務的一項重要舉措”，要“立足學生核心素養發展，體現數學課程育人價值的核心素養”，制訂“指向核心素養的評價體系”等，因此培育學生核心素養是教育的終極目標.大單元教學也是如此，大單元并不是空談“高，大，上”，教師不能進行“碎片化的知識與方法”教學，而是應該多問學生幾個“為什么”，將學生的思維引向深入，從而帶領與鼓勵學生探求本質，從本質里尋找解決問題的思維方法.如教師可用“軸對稱的性質”讓學生深入理解“軸對稱圖形”：線段、角、等腰三角形，以這些圖形的性質、判定、尺規作圖為主線，引導學生體悟這些圖形的聯系，以及它們所蘊含的數學思想與數學模型［2］.筆者所設計的這節課就是以探究為基，借助問題生長，依托變式函數，培養學生分析問題、解決問題的能力，最終達到提升推理能力、應用能力、創新意識等核心素養的目的.