隨機事件的獨立性及其應用

韓燕玲

【摘要】《概率論與數理統計》這門課是研究隨機現象及其統計規律性問題的應用數學學科.其中隨機事件的獨立性作為概率論中最基本的概念之一，與后續隨機變量的獨立性有著密切的關聯，無論是在科學理論研究還是生產、生活等實際應用中都有重要意義，因而對隨機事件的獨立性的學習與探討就尤為必要.文章從隨機事件的獨立性概念及其應用兩個方面進行概述與研究，先給出了隨機事件的獨立性的基本概念、相關性質和結論，再從四個方面通過具體實例展示了隨機事件的獨立性的簡單應用.

【關鍵詞】獨立性；伯努利概型；小概率原理；應用.

【基金項目】基于鄭州工業應用技術學院公共數學課程思政的教學內容與體系建設研究（JG-210102）；鄭州工業應用技術學院教育教學改革研究與實踐項目

一、事件的獨立性概念

我們知道一般情況下P（B）≠P（B|A）.但在許多實際問題中，兩個事件發生互不影響時，也就是有P（B）=P（B|A），此時有

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）P（B）.

例1 袋子里裝有個8球，其中3個黑球，5個白球，從中有放回地取兩次，求：（1）第一次取到白球的概率；

（2）第一次取到黑球后放回，再從中取到白球的概率.

定義1 若A，B是兩個事件，P（AB）=P（A）P（B），則稱A，B兩事件相互獨立.

注：①區分兩個事件互不相容和相互獨立.

②若P（A）>0，P（B）>0，則有事件A，B相互獨立與互不相容不能同時成立.

定理1 設有兩個事件A，B，若P（A）>0，則

判斷事件的獨立性往往不是由定義出發，而是由實際背景來認定的.如對一批產品進行抽樣檢查時，有放回抽樣各次是獨立的，不放回抽樣各次是不獨立的.

例2 若令甲、乙兩人單獨解答同一練習題，甲能答對的概率為0.8，乙能答對的概率為0.9.試計算：（1）兩人都答對的概率；（2）至少有一人答對的概率.

解 （1）設事件A={甲答對題目}，B={乙答對題目}.則P（A）=0.8，P（B）=0.9.事件A與B相互獨立，兩人都答對為事件AB，

P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.9=0.72.

（2）至少有一人答對的事件為A∪B，可用多種方法求解P（A∪B）.

則稱事件A，B，C相互獨立，若（1）的前三個等式成立，則稱A，B，C兩兩獨立.

注：相互獨立必兩兩獨立，反之未必.

（三）伯努利概型

若隨機試驗的結果只存在兩種可能：事件A發生（稱為成功）或事件A不發生（稱為失?。?，則我們稱該試驗為伯努利（Bernoulli）試驗.

定義4 在相同條件下把伯努利試驗獨立重復地進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗，或簡稱為伯努利概型.

也稱上式中的b（k；n，p）為二項概率.

推論 設事件A在一次試驗中發生的概率為 p（0

例4 若某彩票為每周開獎一次，而每次僅有百萬分之一的中獎機率.若張強每周買一張該彩票，盡管他堅持了有10年（每年52周），計算他從未中過獎的概率為多少？

解 若張強每周買一張，則他不中獎的概率為p（0

二、隨機事件的獨立性的應用

（一）隨機事件的獨立性與小概率原理在生活中的警示

例5 春節燃放煙花爆竹是中華民族延續了兩千余年的傳統，但是煙花爆竹的燃放也經常會導致意外的發生，釀成慘劇.假設春節期間北京市有100萬人次燃放煙花爆竹，而每一次燃放煙花爆竹會引發火警的可能性是十萬分之一，試求沒有引發火警的概率為多少？

由此可見，不引發火警幾乎是不可能的.

2021年的春節是北京市嚴格禁放煙花爆竹的第四個春節，據報道，全市仍有55人因燃放煙花爆竹而致傷.據統計，在沒有禁放的2005年春節期間，北京市共接到火警警報818起，其中由煙花爆竹所引發的火災有282起，僅除夕夜就接報火警444起，因燃放煙火引起的火情有172起.據北京市衛生局統計，因煙花爆竹燃放致傷到28家重點醫院救治的就有307人，其中還有4人因燃放煙花爆竹而死亡.

（二）隨機事件的獨立性在質量檢測中的應用

例6 驗收一大批購進的產品，廠家報出這批產品的次品率小于0.005，用戶采用重復放回抽樣檢測共抽查200件，查出4件次品，問廠家報出的次品率是否可信？

結 語

隨機事件的獨立性是概率論課程的重要知識，除文章列舉的應用外，其在理論和實踐中還有著非常廣泛的應用.筆者讓學生明白概率知識也是從實踐中來，又到實踐中去的，從而培養學生用概率知識分析問題和解決問題的能力，使其發現學習數學知識的樂趣，提高其學習的積極性，促使其更好地掌握隨機事件的知識.

【參考文獻】

[1]何書元.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2021.

[2]吳贛昌.概率論與數理統計（經營類·第五版）[M].北京：中國人民大學出版社，2017.

[3]張杰，徐屹，郭麗杰，劉洪傳，宋云飛.概率論與數理統計[M].北京：清華大學出版社，2021.