借“數量關系”之石攻“問題解決”之玉

印曉燕

【摘要】問題解決作為數學學習的核心，是學生數學核心素養發展的關鍵，旨在培養學生獨立思考能力、問題模型意識.文章依托于問題解決，以六年級教學實際為例，關注學生數量關系的分析能力，從素材求變、關系支撐、方法體悟這三個維度探尋有效策略，以此促進學生形成模型意識，提升學生準確表達現實世界的能力.

【關鍵詞】問題解決；數量關系；獨立思考；逆向思維；模型意識

作為數學教師，不禁捫心自問，到底什么是數學？簡單地說，數學是研究數量關系和空間形式的科學.回顧我國近幾十年的數學課程改革，總是把問題解決與數量關系緊密相聯.

時常聽到任教高年段的數學教師發出這樣的感慨：現在的學生在問題解決中欠缺分析數量關系的能力，低中年段數學教師應當重視數量關系教學.筆者深以為然：一些學生由于對數學問題理解不到位、缺少方法支撐，導致他們在數學學習上沒有足夠的持續發展的動力和獨立思考的能力，進而失去對數學學習的興趣和信心.

綜合上述分析，“數量關系”作為小學數學核心內容之一，影響著學生問題解決能力的培養，會是小學階段落實學生數學核心素養培育目標的一個重要路徑.

一、素材求變：讓學生的認識從淺顯走向深刻

善用素材，能有效幫助學生對問題的思考從直觀走向抽象.而數量關系的分析與理解，離不開真實問題情境的創設，教師不妨把靜態的生活素材與學生的知識經驗有機融合，巧妙創設富有層次的問題引領學生逐步深入思考，在素材變化中促使學生獲得對問題解決的直觀感知.

在教學“長方體和正方體的表面積”中，教師充分尊重學生已有的生活經驗，巧妙利用長方體框架學具，從“給長14厘米、寬10厘米、高6厘米的長方體框架做包裝，求包裝紙的面積.”這個問題入手，根據長方體六個面之間的關系，引導學生思考“求長方體框架包裝紙就是求什么呢？”借助圖形直觀探尋其中所蘊含的數量關系.同時教師引導學生從中提煉方法，順勢揭示所求長方體的六個面的面積和就是長方體的表面積.

利用長方體框架圖有助于學生思維進階，提高學生思維能力.此時，教師不妨讓學生的思維再走遠一些，出示問題：“如圖1所示，長方體的長是12厘米，高是8厘米，陰影部分兩個面的面積和是180平方厘米.長方體的寬是多少厘米？”學生理清數量關系，發現“左面積+底面積=180平方厘米”這一條件，并用具體算式表示所對應的面積，得到8×寬+12×寬=180，就可以求出長方體的寬.這樣層層遞進的教學，使得學生思考逐步深入，充分展現學生思維的深刻性和靈活性.

巧選素材，適時求變，使枯燥的問題解決變得鮮活、立體，充分地引導學生的認知不斷從直觀走向抽象，不斷從被動接受走向主動思考.如此看來，數學基本技能的教學，不應求全，而應求變，教師應通過變式練習促使學生自主建構知識間的聯系，將知識內化為自己的認知結構，使其在掌握具體數學知識的同時，感悟數量關系分析背后的數學思想和方法.

二、關系支撐：讓學生的理解從孤立走向聯系

眾所周知，數量關系的教學不應局限于“解決問題的策略”單元，而是適時滲透于現實問題情境中，為學生創造捕捉數量關系的機會.同時，教師應利用學生已有的學習經驗，以種子課為關系支撐，搭建基本數量關系模型，給數量關系理解以生長的力量.而所謂“種子課”，即教師找準學生知識生長點，為后續知識學習做鋪墊，幫助學生實現知識學習的正向遷移，體現出學生思考方法的一致性，同時指向數學核心素養的發展，使得人人都能獲得良好的數學教育.

簡要梳理蘇教版六年級上冊教材內容及教學難點，如表1所示.

根據表1可以看出，本冊教材很多內容都與分數意義的理解密切相關.“求一個數的幾分之幾是多少”便是一節種子課，學生對數量關系的理解是否深刻、關系模型的建立是否清晰則顯得尤為重要.以此為根，學生對問題解決的認知和理解由孤立走向聯系，思維也更富有生命活力.

教學“求一個數的幾分之幾是多少”時，教師應引導學生從理解這個分數意義出發，在比較算法、溝通聯系的過程中進一步明晰“求一個數的幾分之幾是多少”可以用乘法計算.同時教師應著重培養學生良好的思維習慣，比如，知道要找出題目中單位“1”的量，明確找出單位“1”的量是解決問題的關鍵，理解并寫出對應的數量關系式：

單位“1”的量×分率=所對應的量六年級學生已經具備一定的抽象概括能力，能夠自主探究學習有關分數除法實際問題.因此，“列方程解決簡單分數除法實際問題”這一教學內容能更進一步加深學生對數量關系的理解，這也是本節課學習的關鍵所在.學生借助之前學習經驗，思考“為什么選擇列方程來解決問題呢？”

引領學生深度學習有利于學生感悟新舊知識間的內在聯系.教師只有把握住重難點，整節課的教學效率才能有所提升.如“按比例分配問題”，原本的數量關系側重于轉化成份數問題來理解.但引入方程后，則可以轉化成“求一個數的幾分之幾是多少”的問題，更便于解決分數問題.比例問題轉化為“所求是已知量的幾分之幾”，相對來說思路更簡潔、明了，充分體現了數學的條理性.

從學習方法來看，保持思考的一致性，以數量關系分析和理解為抓手，在比較中把握問題本質，能夠讓學生在跳一跳摘果子的過程中獲得成功的體驗，能夠有效激發學生數學學習內驅力，使其以更飽滿的狀態投入學習.

三、方法體悟：讓學生的建構從模糊走向清晰

對于學生而言，學習數學的一個重要目的是會用數學的思維思考現實世界.對于教師而言，教學數學的主要任務不是傳遞知識，而是發展學生的思維能力.在課堂中，教師應采取有效教學策略幫助學生學會思考，啟發學生利用元認知對問題進行合理化表征，快速從題目中提取關鍵數學信息，捕捉其中所蘊藏的數量關系，并根據數量關系選擇合適的方法解決，逐步積累數學學習的經驗.同時有力推動學生對問題解決的體悟從模糊走向清晰.在比較優化中對已有認知結構進行重組，體現思維的延展性和靈活性，真正體現“學”為中心的教學理念，于深度學習中為學生思維插上靈動的翅膀.

（一）在多元表征中厘清問題思路

從心理學的角度來看，多元表征作為支撐學生概念掌握、關系理解、方法獲得的重要載體，立足于以人為本，尊重學生個體差異，起到很好地外化個人思維特征的作用.教師應鼓勵學生通過畫圖、列表、一一列舉、假設等策略對問題探究進行多元化表征，其中不同策略方法的選擇所體現出來的思維方式也有所不同.而能否找尋其中內在“聯系點”是學生總結反思、凝練思路的關鍵點.至此，學生的學由被動地淺層學習轉變為主動地深度學習，真正體悟復雜問題簡單化的過程，也由“難者不會”走向“會者不難”，以不變應萬變，形成可持續學習的動力系統，為數學核心素養的落地與發展提供有效路徑.

例如，全班42人去公園劃船，租10條船正好坐滿.每條大船坐5人，每條小船坐3人.租的大船、小船各有多少條？

出示問題后，教師先引導學生提取數學信息，并追問“你打算怎樣厘清數量關系呢？”以大問題引領學生獨立思考.可以發現，不同的學生看待問題的角度不同、理解程度也各不相同.這樣的學習活動，有助于學生將策略選擇變為一種自我需求，充分激發自我內在學習動機，將內部抽象的思維活動外化為圖形、圖表、算式等數學語言，實現對問題的合理表征.如圖2.

語言是思維的外衣.教師創設平等、和諧的學習氛圍，把學習的時間還給學生，鼓勵學生說出問題解決所選用的策略以及具體運用的過程.真所謂“授人以魚不如授人以漁”，學生在解決問題的過程中能夠體會策略價值，感悟運用策略不僅可以讓問題數量關系愈加清晰、有條理，還能顯現數學思路的簡潔美.開放的課堂一定會呈現方法多樣性的真實樣態，每一種策略的選用都有各自的適用性，根據不同的問題選用合適的解題策略，策略本身沒有高低之分，合適的才是最好的.

然而策略方法也不是孤立的存在.教師引領學生對問題解決的方法進行重構，有助于學生比較歸納、回顧反思.學生在交流碰撞中發現，不管是運用列方程、畫圖，還是列表策略，在解決這個問題過程中都體現著假設思想.

（二）在逆向思考中凸顯問題建模

問題解決，需要換位思考.換個角度看問題，如同為學生理清數量關系打開另一扇窗.而順向思維和逆向思維的有機融合，能夠有力體現其價值.逆向思維有利于找尋問題中所蘊含的等量關系，是學生運用數學語言表達現實世界數量關系的重要體現，也是培養學生模型思想的有力途徑.學生往往遇到數學問題無從下手，是沒能透過現象看到問題本質.

例如，立體圖形實際問題的解決應建立在公式熟記的基礎之上，因此，掌握基礎知識、提煉解題方法顯得尤為重要，這也是學生在課堂上擁有很好地參與感、獲得感的重要體現.

一個長方體容器，長5厘米、寬4厘米、高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個高6厘米的圓錐形的容器內剛好裝滿.這個圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？

這樣借助等式進行逆向思考，為學生找尋到了適合的方法，使學生解決問題的能力和準確度得以提高，也有利于學生創新能力的培養，使學生真切感受到逆向思考所帶來的數學思維簡潔之美，于無聲中凸顯問題建模的作用.

綜上，培養學生理性思考能力，以數量關系分析為著力點無疑為有效路徑之一.課堂是教師教學主陣地，理應讓學生在真實的問題情境中碰撞思維，直抵問題解決核心，彰顯學生學習主動性，促進學生思維向深處生長！

【參考文獻】

[1]王永春.小學數學數量關系及其教學的研究[J].小學數學教育，2022（7-8）：4-10.

[2]馬云鵬.理解數量關系是培養學生問題解決能力的關鍵[J].小學教學，2019（24）：119-121.

[3]陳沁.多元表征視域下小學數學問題解決教學的探究[J].教育界，2021（7-8）：30-31.

[4]馬云鵬朱立明.從應用題到數量關系：小學數學問題解決能力培養的新思路[J].小學數學教師，2018（6）：4-7.