高中數學學思融通背景下的問題導學應用思考

摘 要：新課程改革提出要求，要進一步提高教師的專業素養和業務能力，踐行學思融通，應用問題導學。應用問題導學的學思融通課堂有助于師生形成課堂生態，培養學生思維能力，整合學科資源，變革學習方式，呈現高中數學課堂的全新面貌。文章研究了學思融通理論的優勢以及問題導學在高中數學學思融通課堂中的具體應用。

關鍵詞：高中數學；學思融通；問題導學

作者簡介：張敏（1985—），男，江蘇省建湖縣第二中學。

如果將數學學習比喻成一棵小樹苗，那么促進小樹苗成長的沃土就應當是數學課堂。怎樣的課堂教學才能激發學生的數學意識、鍛煉學生的數學思維、培養學生的數學思想呢？筆者認為，應當創造學思融通的數學課堂，讓學生的數學學習“活”起來?？鬃釉唬骸皩W而不思則罔，思而不學則殆?！甭鋵崒W思融通的教學理念，就是要讓學生邊學習邊思考，以達到融會貫通的深度教學目的。這也是讓數學學習成為學生的內在需求，促使學生不斷學習的一種方法。

在教學實踐中，部分學生會在學習時迷失方向，分不清主要和次要，遺漏重點和難點。針對此情況，數學教師要基于學思融通理論，通過問題導學，用問題引導學生學習，幫助學生融會貫通，給學生的深度學習指明方向，讓學生積極、快樂地開展自主學習與探究［1］。

一、興趣式導學，提升學生的主觀能動性

興趣是學生學習驅動力的內在源泉。興趣式導學在教學中有著廣泛的應用，可以打破以往傳統數學課堂的沉悶氛圍，讓課堂變得活躍、高效，還能夠讓學生在學中思、思中學，做到學思融通。

（一）在具體的情境中探究特殊化的問題

數學學習興趣和學習方法緊密相關，如果學生有數學學習興趣，就會積極地想出學習方法，而不會消極地等待。學習興趣有助于學生主觀能動性的發揮，有助于學生形成正確的學習態度以及學習習慣。因此，培養學生的學習興趣有助于學生學習水平的全面提升。

例如，高中數學“等差數列”這一節要求學生明確等差數列的定義，掌握等差數列的求和公式和性質。學生在小學五年級時就接觸過“等差”這一概念，因此能夠快速地了解等差數列的定義，但部分學生不太清楚如何推導等差數列的求和公式。為了帶領學生推導出等差數列的求和公式，筆者提出了一個有趣的數學問題：“大家都知道著名的數學家高斯吧？有一天，他的老師出了這樣一道數學題：1+2+3+4+5+6+7+8+10+…+100=？全班同學中，高斯最先算出正確答案，等于5050。請問他是怎么計算出來的？”筆者在學生思考后進行解釋，指出高斯是利用等差數列的性質求出來的：1+100=101，2+99=101，3+98=101，4+97=101，5+96=101……本數列的求和公式是首項加末項，乘以項數再除以2。在高斯的求解思路中，已經體現了“首項加末項”這一關鍵點。當學生對這個情境中的特殊化的問題感到好奇時，便會產生濃厚的學習興趣。

（二）在具體的情境中探究一般化的問題

興趣需要培養，且需要長期的過程。很少有學生從一開始就對某一門學科具有強烈的興趣。只有在學習的過程中，學生的好奇心、探究欲才會被激活，學習興趣才能被逐漸地培養起來。學生只有學會觀察問題、活用公式之后，才能將特殊化的問題轉化為一般化的問題［2］。

例：已知an=（）n，把數列{an}的各項排列成如圖1所示的三角形，記A（m，n）表示第m行的第n個數，那么請問A（10，11）為多少？

教師引導學生觀察圖1，學生會發現數字的分布是有規律的，第一行中，這個數列只有a1這一個數；第二行中，最后一個數為a4；第三行中，最后一個數為a9……依此類推，可以看出該三角形的每一行的最后一個項的項數為行數的平方，那么可推出第10行的最后一個項的項數為102=100，即a100。于是可以視第10行為一個數列，它有2n-1個項，即它有19個項。得到第10行第一個項為100-19+1=82，所以第11項的項數為82+11-1=92，由數列通項公式an=（）n計算A（10，11）的數值，可得A（10，11）=a92=（）92。

二、提問式導學，促使學生自主思考問題

提問式導學是指當學生遇到較難的數學知識點或較難的數學問題時，教師按照原題干對問題進行細化，給出一系列的小問題，引導學生自主思考，讓學生在學中思，在思中學。

（一）引導學生理解數學概念

在數學課堂上，教師既不宜直接拋出數學知識點，也不宜直接給出問題的答案，而是要精心設計問題串，通過問題串讓學生自主思考問題，在知識生成和問題解決的過程中，發展學生的數學核心素養和能力。學生面對的問題是課堂導學的方向，學生解答問題時的表現可以當作學生學習情況的一種反饋。

例如，在高中數學“幾何概型”這一節的教學中，筆者在課堂上給出了一個典型的數學題目：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環，從外向內為白色、黑色、藍色、紅色、金色，靶心為金色，金色的靶心叫“黃心”。奧運會的比賽靶面直徑為122厘米，靶心直徑為12.2厘米，運動員在70米外射箭。假設射箭都能中靶，且射中靶內任意一點都是等可能的，那么射中“黃心”的概率有多大？

筆者創設情境并設計問題串：（1）試驗中的基本事件是什么？（2）每個基本事件發生是等可能的嗎？（3）符合古典概型的特點嗎？（4）符合幾何概型的特點嗎？（5）如何求解幾何概型的概率？經過這幾個問題的引導，學生發現，這道題目并不是之前所學習的古典概型，而是今天學習的新的幾何概型。一般地，在幾何區域D中隨意地取一點，記事件“該點落在其內部一個區域d內”為事件A，則事件A發生的概率為（d的測度）/（D的測度）。很快，學生就算出了正中靶心的概率。

（二）引導學生深化數學概念

教師將具體情境中的問題轉化為抽象的概念，引導學生思考抽象的概念的數學本質，讓學生跟著教師的思路不斷地思考?！霸趯W習中思考，在思考中學習”的模式，符合學思融通的基本內涵。

例：點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為多少？

學生通過思考發現，設事件M為“劣弧的長度小于1”，則滿足事件M的點B在定點A的兩側，與定點A構成的弧長小于1?；∩想S機取一點，那么依事件發生的概率，由幾何概型的概率公式得：P（M）＝。

三、互動式導學，促使學生靈活應用知識

互動式導學要求教師借助問題開展師生互動，讓學生的思維活躍起來，同時開展生生互動，讓學生和學生之間碰撞出思維的火花。如此，讓學生在學中思，在思中學。

（一）應用數學思想解決問題

教師在課堂上拋出具體的數學問題讓學生回答時，要認真傾聽、仔細分析學生的回答。首先，分析學生的回答是否正確，了解學生的基本水平，必要時再追加問題；其次，分析學生的回答是否完整，了解學生思維的嚴密度；最后，觀察學生答題的角度，了解學生思維的切入點。將課堂的焦點聚集在學生的回答上，教學互動得以加強，凸顯了學生的主體地位。

例：已知3x2+2y2=6x，試求x2+y2的最大值。

解：由3x2+2y2=6x得y2=-x2+3x。因為y2≥0，所以-x2+3x≥0，即0≤x≤2。又因為x2+y2=x2- x2+3x=-（x-3）2+，所以當x=2時，x2+y2有最大值，最大值為-（2-3）2+=4。

依照解題的需求，學生把方程問題轉化為函數問題。經筆者的提醒，學生聯想到y2≥0這一限制條件，從而又快又準地求出了最大值。在互動式導學中，學生通過互動發現了隱藏條件，啟發了解題的思路。

（二）采用多種策略解決問題

在解決數學問題的時候，要根據實際情況選擇解題策略。有時候題目缺少某個解題條件，但是通過類比、推理，我們能找出其他的解題條件。類似的，取特殊值、逆向思考等方法，可以幫助學生靈活地解決數學問題。在解決數學問題時，教師要引導學生采用多種策略，提高學生思維的變通性［3］。

例：已知二次函數f（x）=ax2+bx+c=0（a>0），滿足f（2+x）=f（2-x），試比較f（0.5）與f（π）的大小。

這一題看似解題所需的條件不完整，但是由已知條件f（2+x）=f（2-x）可知，與x=2等距離的點的函數值相等，說明該函數的圖象關于直線x=2對稱，又可根據f（2+x）=f（2-x）推知它的開口向上，所以能判斷該函數的大致圖象。解：由f（2+x）=f（2-x）可知f（x）是以直線x=2為對稱軸，開口向上的拋物線，那么，與x=2距離越近的點，函數值越小。因為|2-0.5|>|2-π|，所以f（0.5）>f（π）。

四、生活式導學，促使學生跨學科學習

要提高學生應用數學知識的能力，教師可以借助生活化的素材，在課堂上向學生提問，讓學生在學中思，在思中學。這樣的導學方法，有利于培養學生的數學核心素養。STEM（科學、技術、工程和數學教育）項目學習重視實踐活動，重視學生的感受和體驗，要求學生具備跨學科學習的意識，從生活實際需求出發，理解創新的價值和意義。從生活實際的角度出發進行導學，有利于學生靈活應用知識，實現融會貫通。

（一）從生活的角度去分析跨學科知識

數學教師要開展跨學科教育，將科學、技術、工程和數學教育進行融合，要求學生突破不同學科之間的隔閡，以激發學生的創新思維，提升學生應用數學知識解決問題的綜合能力。

例如，筆者引導學生分析以下的公式：st=v0t+× at2==t，vt=x0+at。讓學生了解函數各變量的物理意義：a為加速度，v0為初速度，vt為t秒時的速度，st為t秒時的位移，等等。學生發現，物理中的運動學公式本質上是函數，物理學家通過建立數學模型，分析函數中各變量對物體運動的影響，從而發現物理規律，解決物理問題。教師還可進一步創設情境，設計具有創新性的問題，讓學生從生活的角度去分析跨學科的知識。

（二）解決生活中的STEM問題

教師可根據學生學情設計實踐活動，讓學生解決生活中的STEM問題。在數學知識的引導下，學生將在解決問題的過程中構建跨學科的“知識地圖”。盡管學生所取得的創新成果可能比較微小，但其所帶來的成就感，將極大地激發學生的學習動力。在新時代背景下，通過綜合運用數學知識，并最大限度地發揮其優勢，已成為推動知識創新的重要途徑。讓學生學會靈活地應用數學知識，是生活式導學的目標之一。教師應基于生活化的數學知識創新，積極開展跨學科教育，以滿足社會發展對人才的需求。

結語

教師除了日常的備課、教學、批改作業，還要研究教材內容和習題之間的關系，做好導學設計工作，讓學生在教師的引導下，實現核心素養和綜合能力的提升。問題導學法是高中數學教學中的常用方法，能促進高中數學課堂實現學思融通。在數學教學中，教師使用興趣式導學法、提問式導學法、互動式導學法、生活式導學法，均可取得不錯的教學效果。

［參考文獻］

杜宇，張蛟.普通高中學科融通教學的實踐探索與反思［J］.試題與研究，2020（34）：4-5.

蘇圣奎，繆琳，陳清華.基于STEM的高中數學建模進階式課程設計與實踐［J］.數學建模及其應用，2022，11（2）：88-94.

唐麗華.學思融合，提升素養：深度學習下高中數學教學中思維能力的培養探究［J］. 中外交流，2021，28（2）：1581.