“問題串”在中職數學概念教學中的應用

摘 要：數學概念是數學知識的基礎，準確理解數學概念是學生學好數學的關鍵，這也是中職數學教學的重點內容，而概念教學也需要好的問題情境的導入.基于此，本文將把“對數”作為研究案例，從教學目標和學生心理出發，探討如何有效地設計問題串，以此幫助學生突破學習重難點，促進對概念的理解與掌握.

關鍵詞：數學概念；問題情境；對數；突破

中圖分類號：G632? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1008-0333（2023）27-0005-03

收稿日期：2023-06-25

作者簡介：謝芳（1982.10-），女，碩士，中學一級教師，從事中職數學教學研究.

概念的生成過程是概念教學的重點.一個好的概念教學設計一定是能夠激發學生的學習興趣、幫助學生經歷概念生成的完整過程.關于“問題串”的定義，可以理解為教師圍繞一定的教學目標或某個中心問題，按照一定的邏輯結構精心設計的一系列問題組合[1].這些問題串在教學中可以引導學生理解知識的產生與發展規律，在此基礎上提升學生的思維能力和解題能力.因此，教師不妨嘗試將“問題串”運用到數學概念教學中，通過設計具有引導性的問題，激發學生的學習動機，引導學生以積極主動的態度去探索新知，促進概念的形成和掌握.1 創設情境，導入課題

無論哪個階段的數學教學，選擇優質的教學資源，建立一個能激發學生思考和探索的問題情境都是值得教師去認真思考的.而在數學問題情境的創設過程中，教師需要關注與學生相關的生活情境以及該知識的產生背景，盡可能地選擇學生感興趣的、有利于學生探索新知的學習素材.同時，考慮到創設情境的目的是為了幫助學生了解知識的來源以及快速地進入到學習狀態，故過于復雜的情境導入則會顯得本末倒置.因此，創設的情境要體現出直觀性，要讓學生更好地進行思考和訓練，激發學生的學習興趣，體會到概念的源頭[2].

在討論對數的產生時，教師可以引入細胞分裂的情境：在生物學中，細胞是處于不斷分裂的過程中，已知某種細胞在分裂時，由一個變成了兩個，又由兩個變成了四個……以此類推，一個這樣的細胞分裂了x次后，得到了細胞個數為y，那么新的細胞個數y與分裂次數x之間存在著怎樣的函數關系？此函數關系又該如何表示？針對該問題情境，學生能很快地運用“指數”來得到細胞個數y與分裂次數x之間的關系為：y=2x.此時，教師便可拋出兩個問題.問題1：如果細胞分裂6次，那么細胞數變成了多少？問題2：假設我們知道細胞分裂成了256個，那么細胞分裂的次數明確嗎？針對于第一個問題，學生知曉了要用“26”去解決問題，得到了答案為64個；在第二個問題中，學生需要找到“256相當于是多少個數字2進行相乘”的結果，通過不斷的試驗，學生得到了“28=256”從而順勢得到“當細胞分裂了8次后，細胞的個數變成了256”的答案.在該教學情境中，雖說并沒有真正地引入“對數”這一數學概念，但從學生的最近發展區提出問題，讓學生知曉了“指數”問題是客觀存在的，這樣一來，學生也能意識到：“對數”必然也不是憑空產生的，它或許與“指數”存在著千絲萬縷的關系.接著，教師即可出示下列例題：2x=8，2x=16，2x=25.同時，提出如下問題：以上三個解方程有何共同特征？各自的答案又是什么？通過觀察后，學生一致地說出：“在這三個式子中，底數都是2，而冪則都不相同.”2 合作探究，概念形成

在上一階段的教學片段中，學生已經發現了“指數”在數學計算以及數學表示等方面的局限性，因此，對于新概念的獲取則顯得迫在眉睫.眾所周知，眾人拾柴火焰高，往往個人的能力是較為單薄的，對于數學探究而言亦是如此.所以，在概念形成的初始階段，學生應當積極主動地與他人展開交流，集中大家的智慧，從而高效地理解和掌握新概念.同時，教師應繼續扮演好輔助者的角色，提出更具引導價值的問題串，以此來讓學生在探究過程中少走“彎路”，最終更好地促進概念的形成.

在研究上個案例的最后一個問題前，教師不妨出示下列兩個問題：設ab=Na>0且a≠1第一個問題，已知a，b求N，比如43=？、54=？第二個問題，已知a，N求b，比如3b=27，求b=？、5b=125，求b=？在實際的解答過程中，學生都能利用指數的知識去解決問題.同時，教師要引導學生說出這兩種計算題的相同點與不同點，通過觀察與交流，學生便能發現：這兩種問題實際上都是與指數函數y=ax相關，在第一個問題中，是已知指數求y；而在第二個問題中，是已知冪求指數.在此基礎上，教師繼續拋出問題：這兩個問題中，哪一個是常見的指數問題？通過回憶指數的概念和表示形式，學生能輕而易舉地認識到第一個是與指數相關的問題，而第二個可能與對數相關.這個教學片段的設計意圖在于，能幫助學生進一步觸及到對數概念的學習.此時，教師便可承接上一階段未完成的問題，提問：存在使得2b=5，這樣的數b嗎？若存在，該如何求解？在實際的求解過程中，學生提出了不同的求解方法，有學生認為，因為22=4，而23=9，又因為4＜5＜9，則數b一定是介于2和3之間的一個數，但求不出具體的數值；還有學生運用了數形結合的思想方法，在平面直角坐標系中依次畫出指數函數y=2x與常數函數y=5的圖像，而兩個函數圖像的交點橫坐標即為b的值，最終也得到了“數b的值介于2與3之間”的結論，同時，還探究得到“數b的值是唯一的”.但較為遺憾的是，學生僅僅只是知曉了“b”的數值范圍，但依然無法用數學符號來表示.此時，教師便可引入新的數學符號“logaN”，解釋道：對于2b=5，為了能表示出數b，我們需要借助別的數學符號.可以發現，指數b是由底數2與冪5決定的，所以數學家用log25，讀作以2為底5的對數，其中2為底數，寫在下面，5為真數，寫在上方.3 對比聯系，深入理解

對于學生而言，新的數學概念常常是比較晦澀難懂的，若不與舊知進行聯系，則往往起不到良好的學習效果.因此，教師不妨在提出問題串時，注重與舊知識點之間的聯系，讓學生對它們進行觀察、比較以及交流，找到它們之間的聯系與區別，促進學生對新概念的深入理解和掌握，最終獲得事半功倍的課堂教學效果.

教師首先針對對數中底數a的取值范圍，提出相關問題：當變為對數時，底數a的取值會發生變化嗎？可以參照什么進行研究？根據對數的概念，學生不難發現，對數來源于指數，這兩個數本質上體現的就是a，b，N這三個量的同一種數量關系，區別在于表現形式不一樣，從一定意義上來講，指數運算的逆運算便是對數運算.因此，對數中的a與指數中的a表示的是同一個數，故對數中a的取值并不會發生任何改變.研究完a的取值后，教師可以拋出以下問題串：對數是否可以取到任何實數？真數N的取值又會如何？是否依然可以通過聯系指數來進行研究？有了之前的學習經驗，學生便會自發地進行對比研究.首先，在對數值的研究上，學生一致認為對數值實際上就是指數里的b，因此，只要知道b的取值范圍，那么，對數值的取值就明了了.顯而易見，在指數中，b的定義域為一切實數，故對數值亦可以取到一切實數.同樣地，在真數N的研究上，學生依葫蘆畫瓢，根據指數函數的值域知曉了N只能取到正數，因此，在對數中，真數N的取值范圍為N>0.在依次探究完a，b，N的取值范圍后，教師可以讓學生自行探索對數中的一些特殊值，提出問題：在指數中，會存在一些特殊值，由此及彼，在對數中，會存在一些特殊值嗎？在這個問題中，學生首先需要回憶出指數中的一些特殊值.在實際的課堂教學中，有學生能回憶到“a0=1a>0且a≠1”這個特殊值，指出：無論底數a如何變化，只要指數a為0，那么冪永遠是1；反過來考慮，若冪為1，那么指數b只能是0，而在對數中，指數中的冪就相當于真數N，故loga1=0a>0且a≠1.依據這個思路，還有學生指出：在指數中，a1=aa>0且a≠1，即在定義域內，任意數的1次方都等于本身；反之，由可將冪N看成是對數中的真數，得到logaa=1a>0且a≠1.至此，學生對于對數的認識也是更上一層樓.4 習題練習，鞏固深化

在數學新概念的學習中，理解和熟知是一個深度，掌握和應用又是另外一個深度.因此，在數學教學中，選用一些具有針對性的習題來幫助學生鞏固和強化所學概念則顯得尤為重要.在數學學習中，適度的練習是必要的，也是檢驗學生能否靈活運用所學概念的重要手段之一[3].

教師首先拋出如下問題串，問題1：將34=81、2-2=14、6x=36、0.5x=0.125這些指數式化為對數式；問題2：將log464=3、log5a=225這些對數式化為指數式.這個問題串的設計意圖在于可以讓學生進一步熟知指數與對數之間的互化，從而加深對概念的理解.在實際的練習反饋中，學生都能很好地完成指數與對數之間的互化問題.此時，教師可以引出一些與對數運算相關的問題串，譬如，問題3：計算log525、log3243的值；問題4：計算log48以及log16196的值.在實際的解題過程中，學生利用指數的知識能較為輕松地完成對于問題3的解答，而在面對問題四時，學生則會遇到一些阻礙，此時，教師可以這樣引導：在問題3中，對數的值可以利用指數來完成，而在問題4中，也應該是一樣的，難點在于不能直接得到結果，因此，可以利用什么知識進行解答？在教師的提點下，有學生發現了可以利用未知數“x”來解決難點.例如，對于“log48”這道題，學生將原式化為“4x=8”，又因為“4”和“8”都可以看成是以“2為底，不同次方的冪”，繼而可得“22x=23”，即“2x=3”，最終得到對數值.而對于第二道題，學生可以通過類似的方法去解決.可以看出，這個問題串的設計目的在于幫助學生學會將對數問題指數化，形成基本的解題思路和技能.最后，教師可以提出相關拓展性問題，譬如，問題5：計算log553以及log664，從答案中又能發現什么？在實際的計算中，學生迅速得出答案分別為“3”和“4”，同時探究得到“這兩個式子可以化成一般式logaab，而在這個式子中，真數N變成了ab，這就變成了要求a的幾次方等于ab？顯而易見，答案即為b，因此可得logaba=b.”參照這個思路，教師可以對對數式中的一些其它特殊形式進行教學.

總之，根據不同的課型以及不同的教學要求，教師需要靈活地將問題由淺入深、有層次性地進行設計，從而達到有效調動學生學習積極性、提升概念教學效果的目的.最后，教師也要注重教學反思，設計出更貼近與符合學生思維方式的問題串，進一步完善概念教學.

參考文獻：

［1］ 孫靜.“問題情境”下的中職數學概念課教學初探：以周期性概念為例[J].中學課程輔導，2018（10）：18-19.

[2] 楊帆.通過情境提出問題，利用問題串引發思考：“函數單調性”教學案例[J].數學學習與研究，2018（12）：80-81.

[3] 金鵬.給予問題驅動的中學復數概念教學研究[J].數學探究，2020（06）：44-45.

［責任編輯：李 璟］