函數的概念與性質常見典型考題賞析

2023-10-28 09:02:04張文偉

中學生數理化·高一版 2023年10期

■張文偉趙昆

函數是高中數學的重要內容,也是每年高考的必考內容。在近幾年的高考試題中,函數的概念與性質,冪函數的應用,分段函數問題等,一直都是常考點,且常考常新。下面就函數的概念與性質的常見典型考題進行舉例分析。

題型一:函數概念的理解

判斷對應關系是否構成函數的關鍵:一看自變量x的取值是否任意,二看對應的y是否唯一。判斷兩個函數是否相等,要根據函數的三要素來判斷,即定義域、對應關系、值域,當三者都一致時,兩個函數才是相同的函數。

題型二:求抽象函數的定義域

函數的定義域指的是自變量的取值范圍;求函數f[g(x)]和f[h(x)]的定義域,可利用g(x)和h(x)的值域相等,列不等式求出x的取值范圍;已知函數f(x)的定義域為[a,b],則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b求得;已知復合函數f[g(x)]的定義域為[a,b],則函數f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域。

例2 已知f(x+1)的定義域為(2,4)。

(1)求f(x)的定義域。

(2)求f(2x)的定義域。

解:(1)因為f(x+1)的定義域為(2,4),所以2

題型三:求函數的解析式

求函數解析式的四種常用方法:待定系數法,當已知函數類型時,常用待定系數法;代入法,已知y=f(x)的解析式,求函數y=f[g(x)]的解析式時,可直接用新自變量g(x)替換y=f(x)中的x;換元法,已知y=f[g(x)]的解析式,求y=f(x)的解析式,可用換元法,即令g(x)=t,反解出x,然后代入y=f[g(x)]中,求出f(t)即得f(x);構造方程組法,當同一個對應關系中的兩個自變量之間有互為相反數或者互為倒數關系時,可構造方程組求解。

跟蹤訓練3:根據下列條件,求f(x)的解析式。

(1)f[f(x)]=2x-1,其中f(x)為一次函數。

題型四:分段函數的應用

求分段函數的函數值時,一般應先確定自變量的取值在哪個子區間上,然后用與這個區間相對應的解析式求函數值;已知分段函數的函數值,求自變量的值,要進行分類討論,逐段用不同的函數解析式求解,最后檢驗所求結果是否適合條件;實際問題中的分段函數,先以自變量在不同區間上對應關系的不同進行分段,再求出各個區間上的對應關系(解析式或圖像)。

跟蹤訓練4:已知函數f(x)=

題型五:函數單調性的證明及應用

證明函數f(x)在區間D上的單調性應遵循四個步驟:設?x1,x2∈D,且x1x2。

題型六:函數奇偶性的判斷

用定義判斷函數奇偶性的兩個步驟:先求定義域,看是否關于原點對稱;再判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否恒成立。若已知函數的圖像,則觀察函數的圖像是否關于原點或y軸對稱,依此判斷函數的奇偶性。

(3)f(x)=x2-x3的定義域為R。因為f(-1)=(-1)2-(-1)3=1+1=2,f(1)=12-13=0,所以f(-1)≠f(1),所以f(x)不是偶函數。因為f(-1)≠-f(1),所以f(x)不是奇函數。故f(x)=x2-x3既不是奇函數也不是偶函數。

(4)f(x)=|x+2|+|x-2|的定義域為R。因為f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)=|x+2|+|x-2|是偶函數。

題型七:函數奇偶性與單調性的應用

函數的單調性與奇偶性是函數的兩大重要性質,解決函數問題離不開這兩大性質的應用。奇函數在定義域內的關于y軸對稱的兩個區間上單調性相同,偶函數在定義域內的關于y軸對稱的兩個區間上單調性相反。

題型八:利用奇偶性求函數解析式或參數的值

根據函數奇偶性的特點,即f(x)=±f(-x),將已知條件代入,從而可得f(x)的解析式;利用函數奇偶性求參數值的常用方法有定義法,特殊值法,函數的特點分析法,定義域關于原點對稱法等。

例8 已知函數y=f(x)的圖像關于原點對稱,且當x>0 時,f(x)=x2-2x+3,則f(x)在R 上的表達式為_____。

題型九:復合函數的單調性

形如y=f[g(x)]的函數為t=g(x),y=f(t)的復合函數,t=g(x)為內層函數,y=f(t)為外層函數,當t=g(x)單調遞增,y=f(t)單調遞增時,函數y=f[g(x)]單調遞增;當t=g(x)單調遞增,y=f(t)單調遞減時,函數y=f[g(x)]單調遞減;當t=g(x)單調遞減,y=f(t)單調遞增時,函數y=f[g(x)]單調遞減;當t=g(x)單調遞減,y=f(t)單調遞減時,函數y=f[g(x)]單調遞增。總之,簡稱為“同增異減”。求復合函數的單調性時,不能忽視函數的定義域。

題型十:利用分段函數的單調性求參數的取值范圍

對于分段函數在實數集R 上的單調遞增(減)問題,除了保證在定義域的每一個區間上的單調性相同,還要考慮在分界點處的函數值的大小關系。若函數是增函數,則左邊函數值小于或等于右邊函數值(若函數是減函數,則右邊函數值小于或等于左邊函數值),這樣才能滿足R 上的單調遞增(減),否則求出的參數范圍會出現錯誤。對于定義域

提示:f(x)為R 上的減函數,當x≤1時,f(x)單調遞減,所以a-3<0,即a<3。

題型十一:已知函數的最值或值域求參數的取值范圍

已知函數最值或值域求參數的取值范圍問題的關鍵是理解最值與值域的概念,注意結合函數圖像容易求解。這類問題一般分為兩類,一是參數在解析式中,二是參數在定義域中,解題時要注意參數對函數單調性的影響,一般要分類討論求解。

解:(1)因為f(x)的值域為[0,+∞),所以y=mx2-2x+1 的值可取一切非負數。當m=0時,y=-2x+1,滿足題意;當m>0時,只需Δ=4-4m≥0,可得0

綜上所述,實數m的取值范圍為[0,1]。

(2)由(1)知,當m∈[0,1]時函數值域為[0,+∞),滿足最小值為0。當m>1 時,對于y=mx2-2x+1,顯然Δ=4-4m<0,即值域不包含0,不滿足題意;當m<0時,對于y=mx2-2x+1,顯然Δ=4-m>0,即值域包含最小值0。

綜上可知,實數m的取值范圍為(-∞,1]。

跟蹤訓練11:若函數y=2x2-8x+9的定義域為[1,a],值域為[1,3],則a的取值范圍為( )。

A.[1,2] B.(1,2]

C.[2,3] D.[2,3)

提示:函數y=2x2-8x+9=2(x-2)2+1≥1 恒成立,其定義域為[1,a],值域為[1,3]。

當x=1時,y=3;當x=2時,函數y取得最小值1;當x=3 時,y=2×(3-2)2+1=3。

綜上可得,a的取值范圍是[2,3]。應選C。

題型十二:冪函數的圖像與性質

對于冪函數y=xα(α∈R),在x∈(0,1)上,指數越大,冪函數圖像越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);在x∈(1,+∞)上,指數越大,冪函數圖像越遠離x軸(簡記為“指大圖高”)。由圖像確定冪指數α與0,1的大小關系,需根據冪函數在第一象限內的圖像來判斷。利用冪函數的單調性比較大小時要注意:比較大小的兩個實數必須在同一函數的同一單調區間內,否則無法比較大小。