一道好題帶你掌握抽象函數

■魏田田

題目 已知函數f(x)的定義域為R,對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時,f(x)>0,且f(1)=3。

問題1:求f(0)的值。

解:令x=0,y=0,解得f(0)=0。

問題2:證明:對任意的x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)-f(y)成立。

證明:令x=(x-y)+y,可得f(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)+f(y),即f(x-y)=f(x)-f(y)成立。

問題3:判斷函數f(x)在R上的奇偶性。

解:任取x∈R,則-x∈R。令y=-x,則f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0,可得f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以函數f(x)為奇函數。

問題4:用定義法判斷函數f(x)在R 上的單調性。

解:任取x1,x2∈R,且x10。因為當x>0時,f(x)>0,所以f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在R 上單調遞增。

問題5:解不等式f(x2-3x)+f(2x-6)>0。

解:f(x2-3x)+f(2x-6)>0,即f(x2-3x)>-f(2x-6)。由 問 題3 知 函數f(x)為奇函數,所以f(x2-3x)>f(6-2x)。由問題4 知函數f(x)在R 上單調遞增,所以x2-3x>6-2x,解 得x<-2 或x>3。故所求不等式的解集為{x|x<-2或x>3}。

問題6:若存在x∈[2,3],使f(x2-mx)+f(x)<6成立,求實數m的取值范圍。

問題8:請寫出一個同時滿足以下三個條件的具體函數f(x):①對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立;②當x>0時,f(x)>0;③f(1)=3。

解:①對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,可知f(x)可以是正比例函數f(x)=kx。②當x>0 時,f(x)>0,可知k>0。③f(1)=3,可知f(1)=k×1=3,解得k=3。故函數f(x)=3x。